f、f'、f''的定性关系 — AP 微积分 AB
AP 微积分 AB · 微分的分析应用 · 14 min read
1. f与f'的关系：增减性与临界点 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
$f$与$f'$的核心关系来源于导数的定义：导数是$f$在任意点$x$处的瞬时斜率。
- 若区间内所有$x$满足$f'(x) > 0$，则$f$是**递增**的：$x$增大时，$f(x)$增大
- 若区间内所有$x$满足$f'(x) < 0$，则$f$是**递减**的：$x$增大时，$f(x)$减小
Exam tip: 在AP考试所有要求写出增减区间的题目中，始终使用开区间。AP阅卷官从不接受该题型的闭区间答案。
2. f与f''的关系：凹凸性与拐点 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
凹凸性描述$f$的斜率随$x$增大如何变化，因此它由$f'$的导数即$f''$决定。
- 若$f''(x) > 0$，则$f'$在区间内递增，因此$f$是**凹向上**（形状像开口向上的杯子$\cup$）
- 若$f''(x) < 0$，则$f'$在区间内递减，因此$f$是**凹向下**（形状像开口向下的帽子$\cap$）
Exam tip: 始终通过明确说明凹凸性（或$f''$的符号）在该点发生变化来证明拐点。如果你只说明$f''(c)=0$而没有提到符号变化，AP阅卷官会扣分。
3. 局部极值的定性分类 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
识别出$f$的临界点后，你可以通过两种定性方法将其分类为局部最大值、局部最小值或两者都不是：
- **一阶导数判别法**：适用于所有临界点：$f'$从正变负 = 局部最大值；从负变正 = 局部最小值；无符号变化 = 不是极值
- **二阶导数判别法**：仅适用于满足$f'(c)=0$的临界点：$f''(c) < 0$ = 局部最大值；$f''(c) > 0$ = 局部最小值；$f''(c)=0$ = 判别法无结论，使用一阶导数判别法
Exam tip: 如果FRQ要求你证明局部极值，你必须明确引用你使用的判别法（例如，"根据二阶导数判别法，$f''(3) < 0$，因此$x=3$是局部最大值"）。仅给出结论不得分。
4. 根据另一个函数图像绘制目标函数图像 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
AP的常见题型是给定$f'$的图像要求你绘制$f$的图像（或反过来），只使用定性关系。绘制过程遵循三个简单步骤：标出所有关键点，将x轴按关键点划分为区间，然后为每个区间赋予正确的增减性和凹凸性。
Exam tip: 在AP FRQ中要求绘制图像时，你只需要正确标出所有要求的关键特征，保证大致形状正确即可。你不需要标出每个点就能得满分。
5. 概念检查 ★★★★☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生记住了拐点出现在$f''=0$的位置，因此假设所有这样的点都符合条件，忘记了需要凹凸性改变的要求。
Why: 学生错误地认为闭区间是可接受的，因为单调性可以延伸到端点。
Why: 给定$f'$的图像时，学生混淆了哪个性质对应$f$的增减性，哪个对应$f$的凹凸性。
Why: 学生根据定义假设所有临界点都是极值。
Why: 学生忘记了当$f''(c)=0$时，判别法是无结论，不是不存在极值。
Why: 学生将凹凸性改变的位置与斜率改变的位置混淆。
Quick Reference Cheatsheet