AP微积分AB 链式法则 — AP 微积分 AB
1. 什么是链式法则？ ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min
链式法则是复合函数求导的核心法则，复合函数的形式为$y = f(g(x))$，即内层函数$u = g(x)$代入外层函数$f(u)$中。该知识点约占AP微积分AB考试总分的4-6%，同时出现在选择题和自由问答题部分，几乎总是与其他求导法则结合考查。
链式法则的核心思路是：复合函数的变化率等于外层函数的变化率（在内层函数处取值）乘以内层函数的变化率。AP考试中的大多数函数都是复合函数，因此你无法仅依靠基本求导法则解题。
2. 基础链式法则：分解与核心公式 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
要正确应用链式法则，你首先需要将复合函数正确分解为外层和内层分量。一个简单的判断方法：代入$x$值计算时，先计算的就是内层函数，后计算的就是外层函数。例如，对于$y = e^{x^2}$，内层函数是$u = x^2$，外层函数是$y = e^u$。
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
\frac{d}{dx}\left[f(g(x))\right] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
乘积形式的思路很简单：如果$y$对$u$的变化率是2倍，$u$对$x$的变化率是3倍，那么$y$对$x$的变化率就是$2 \times 3 = 6$倍，因此变化率相乘。不需要使用链式法则的唯一情况是内层函数就是$y=x$，其导数为1，乘积化简后就是外层导数。
Exam tip: 在草稿纸上一定要明确标出你的内层和外层函数——如果你无法清晰说出两者，几乎肯定会错误应用该法则。
3. 链式法则与其他求导法则的结合 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
链式法则在AP考试中几乎从不单独考查，你几乎总是需要将它与乘积法则、商法则或基本非幂函数的导数结合使用。最常见的推广形式有：
- 广义幂法则: $\frac{d}{dx}[u^n] = n u^{n-1} u'$
- 广义三角函数: $\frac{d}{dx}[\sin u] = \cos u \cdot u'$, $\frac{d}{dx}[\cos u] = -\sin u \cdot u'$, 等.
- 广义指数函数 (底数$e$): $\frac{d}{dx}[e^u] = e^u \cdot u'$
结合多个法则的核心原则是：先对最外层运算应用对应法则，再向内对任何复合的内层部分应用链式法则。如果最外层运算是乘积，就先应用乘积法则，再对任何复合因子使用链式法则。
Exam tip: 结合多个法则时，不要一步写出最终导数，逐次写出每一步——自由问答题中正确的中间步骤几乎总能获得部分分。
4. 切线与法线问题中的链式法则 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
求给定点处复合函数的切线方程（或法线斜率）是AP考试非常常见的题型。由于函数是复合函数，你需要用链式法则计算切线斜率。回顾一下，$x=a$处的切线符合点斜式：$y - f(a) = f'(a)(x-a)$。对于法线，斜率是切线斜率的负倒数：$m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(a)}$。
Exam tip: 计算$f'(a)$之前一定要先算出$f(a)$（切点坐标）——这是自由问答题中很容易拿到的1分，哪怕你导数算错也能得到。
5. AP风格概念检测 ★★★★☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生求完外层函数导数就停止了，忘记内层函数会随$x$变化。
Why: 混淆了应该先对哪个函数求导。
Why: 混淆了复合$f(g(x))$和乘积$f(x)g(x)$。
Why: 混淆了代入数值的时机。
Why: 忘记最外层运算决定法则的应用顺序。