AP 微积分 AB 幂法则 — AP 微积分 AB
1. 正整数指数的核心幂法则 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
幂法则是AP微积分AB中最基础的求导简便方法，让你无需每次都用极限定义计算幂函数的导数。幂函数是指形式为$ f(x) = kx^n $的任意函数，其中$ k $是常数系数，$ n $是任意实数。该知识点占第二单元考试分值的10-12%。
Exam tip: 代入$x$值求值前，一定要先算出通导数。绝对不要先把$x$值代入原函数再求导，那样总会错误得到斜率为零的结果。
2. 负指数和分数指数的幂法则 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
幂法则对任意实数指数都成立，不只是正整数。这是AP考试中幂法则最常考的内容之一，因为它要求你先运用指数法则重写根式和倒数，再进行求导。
倒数$\frac{1}{x^k}$可重写为$x^{-k}$，$k$次根式$\sqrt[k]{x}$可重写为$x^{1/k}$。重写后，运用幂法则的方法和正整数完全相同。
Exam tip: 处理负指数/分数指数时，一定要在纸上明确写出指数减法步骤。最常见的错误是不小心对系数而不是指数减1，或者算错新指数的符号。
3. 运用幂法则求切线方程 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
AP考试非常常见的题目要求你求幂函数曲线在给定点处的切线方程。$y=f(x)$在$x=a$处的切线有两个关键性质：它经过点$(a, f(a))$，且斜率等于导数$f'(a)$，你可以用幂法则快速算出该斜率。得到斜率和点后，使用点斜式写出最终方程即可。
Exam tip: 永远不要忘记计算原函数的$y$坐标。很多学生只用导数得到斜率和给定的$x$坐标，导致切线的$y$截距错误。
4. AP风格练习题讲解 ★★★★☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 忘记将原系数乘以指数，只对指数减了1。
Why: 对负指数减1时计算错误，得到的指数负性更弱而非更强。
Why: 忘记常数项的导数为零，因为常数项可以写成$c x^0$。
Why: 忘记常数系数$\sqrt{2}$需要乘到导数中。
Why: 错误地将系数和指数相乘时颠倒了运算顺序。