导数的定义与导数记号的使用 — AP 微积分 AB
1. 某点处的导数 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
我们从预备微积分中两点间割线斜率的概念推导出某点处的导数，这两个点是$(a, f(a))$和$(a+h, f(a+h))$，其中$h$是两点间的步长。当$h \to 0$时，两点越来越接近，割线斜率趋近于切线斜率，也就是导数。
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}
另一种等价的替代形式常用于识别类问题而非手动计算，它用趋近于$a$的$x$代替了步长$h$：
f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}
Exam tip: 如果AP考题明确要求你使用极限定义求导数，仅使用微分快捷法则将不得分；你必须展示完整的极限计算过程才能得分。
2. 作为函数的导数与导数记号 ★★☆☆☆ ⏱ 5 min
一旦我们可以计算任意点$x=a$处的导数，我们就可以把导数本身看作一个函数：输入是所有导数存在的$x$，输出是该$x$点处的导数。
AP考试中两种标准记号可互换使用：
- **撇号记号**：对于$y = f(x)$，导数写作$f'(x)$（读作"f撇x"）或$y'$。对于$x=a$处的导数，写作$f'(a)$或$y'(a)$。
- **莱布尼茨记号**：对于$y = f(x)$，导数写作$\frac{dy}{dx}$（读作"d y d x"）或$\frac{d}{dx}[f(x)]$，其中$\frac{d}{dx}$表示求导运算。对于$x=a$处的导数，写作$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=a}$，求值竖线放在导数表达式之后。
Exam tip: 使用莱布尼茨记号书写某点处的导数值时，一定要把求值竖线放在导数表达式的后面；在自由问答题中，竖线位置错误会被扣分。
3. 从极限表达式中识别导数 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
AP考试中一种常见题型是：给出一个未化简的差商极限，要求你识别它代表哪个导数，或是利用导数法则计算极限，而不需要从头计算极限。这类题目考察你是否理解导数定义的结构，而不仅仅是你会不会计算。
解决这类问题的方法是，将给定极限与两种导数定义之一的结构匹配：
- $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)$
- $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$
一旦你正确识别出$f(x)$和$a$，就可以用快捷法则计算导数得到极限的值，不需要手动计算极限。
Exam tip: 一定要检查$f(a)$是否与分子中的常数项匹配；选择题的干扰项常使用错误的常数项，来测试你是否正确匹配了定义的所有部分。
4. 概念检测（AP风格） ★★★☆☆ ⏱ 2 min
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了极限的运算顺序，认为代入总是第一步。
Why: 学生将分子中的常数对应到点，忽略了分母的结构。
Why: 学生在同时练习两种导数题型后会混淆它们。
Why: 学生将原函数极限的存在性与导数的存在性混淆。
Why: 学生错误地将分数记号应用到导数求值中。