消除间断点 — AP 微积分 AB
1. 什么是消除间断点？ ★☆☆☆☆ ⏱ 2 min
消除间断点（也称为补洞）是指仅在单个点重新定义函数，使函数在该点连续，不改变函数在其他任何位置的值。本内容属于第1单元，占AP微积分AB考试总分的10-12%，会同时出现在选择题和自由问答题中。
2. 识别可去间断点 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
在消除间断点之前，你必须先正确识别它是可去还是不可去间断点。回忆一下，函数在点$x=a$连续需要满足三个条件：
- $f(a)$ is defined
- $\lim_{x \to a} f(x)$ exists
- $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
如果只有条件1或条件3不满足，条件2仍然成立（即双侧极限存在），那么这个间断点就是可去的。如果条件2不满足，那么间断点是不可去的，无法通过改变$f(a)$来修正。大多数可去间断点出现在有理函数中：当分子和分母有公因式$(x-a)$时，就会产生$0/0$未定式，形成可去间断点。
Exam tip: 一定要检查分母的所有根，而不仅仅是约掉的那个。AP考试题目几乎总会在可去间断点之外设置一个不可去间断点，来考察你是否检查了所有间断点。
3. 通过因式分解消除间断点 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
识别出$x=a$处的可去间断点后，消除它需要你将$f(a)$定义或重新定义为等于$\lim_{x \to a} f(x)$的值，这样就满足了$x=a$处连续的所有三个条件。对于多项式有理函数，求该极限的标准方法是因式分解和约去公因式。
Exam tip: 绝不要省略明确说明$f(a)$等于极限这一步。如果你只化简了函数，没有明确定义$f(a)$的新值来消除间断点，AP阅卷老师会扣分。
4. 通过有理化消除间断点 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
不是所有可去间断点都来自多项式有理函数的因式分解。另一种常见情况是带根号的函数：函数在$x=a$处无定义（得到$0/0$未定式），但极限仍然存在。要计算这个极限，我们将分子和分母同时乘以根式表达式的共轭式来消去根号，这样就能得到可以约去的公因式$(x-a)$。
Exam tip: 一定要同时将分子和分母乘以共轭式。如果你只乘分子，会改变表达式的值，导致极限计算错误。
Common Pitfalls
Why: 学生混淆了化简后的函数（在$a$处有定义）和原函数，原函数在$a$处仍然无定义，除非明确修改。
Why: 学生学到$0/0$通常是可去的，但少数情况下极限仍然可能不存在。
Why: 学生急于消去根号，忘记了等式的乘法规则。
Why: 学生养成了约去所有匹配因式的习惯，哪怕分子在该点不为零。
Why: 这种设定下$g(x)$通常在$a$处无定义，因此学生错误地将$a$代入化简后的$g(x)$计算。