探究间断点的类型 — AP 微积分 AB
1. 连续与间断点基础 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
若函数在$x=a$处不满足连续的三个条件中的任意一个，则函数在$x=a$处间断。探究间断点类型就是根据哪一个条件不满足，以及函数在该点处的极限行为来对间断点进行分类。该知识点占AP微积分AB考试分值的10–12%，是介值定理、可微性和积分等知识点的基础。
2. 可去间断点 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
可去间断点最常出现在有理函数中：当分子和分母中的公一次因式被约去后，图像上会留下一个"洞"，即可去间断点。可去间断点也会出现在分段函数中：当分界点处定义的函数值不等于趋近的极限时就会产生可去间断点。
3. 跳跃间断点 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
跳跃间断点最常见于分界点两侧表达式不同的分段函数，以及取整、天花板这类阶梯函数中。只要单侧极限是有限且不相等的，$f(a)$的值（无论是否有定义）都不会改变间断点的分类。
4. 无穷间断点 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
对于有理函数，当$x=a$处分母为零但分子非零时，随着$x$趋近于$a$，分式的值会无限增大，因此产生无穷间断点。若导致分母为零的因式无法和分子中的任何因式约去，则该间断点就是无穷间断点。
Common Pitfalls
Why: 学生认为所有无定义点都是洞，忘记了只有存在有限极限的间断点才是可去的。
Why: 学生混淆了可去间断点要求存在有限双侧极限这个条件，误以为只要函数无定义就是可去间断点。
Why: 学生忘记了另外两个连续条件：极限必须存在，且极限必须等于函数值。
Why: 学生混淆了'单侧极限存在'和'双侧极限存在'。
Why: 学生没有将有理函数完全因式分解，因此遗漏了可以约去的公因式，而该公因式对应的本来是可去间断点。