从图像估计极限值 — AP 微积分 AB
1. 从图像看极限的核心概念 ★☆☆☆☆ ⏱ 3 min
从图像估计极限值是利用函数曲线在 $x=a$ 附近的图像行为，找出当 $x$ 任意趋近于 $a$ 时函数趋近的输出值，与 $f(a)$ 的实际值无关。这是AP微积分AB第一单元的1.2主题，占AP考试总分的10-12%，会在选择题和自由问答题部分都出现。
2. 单侧极限与双侧极限 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
单侧极限描述函数仅从一侧（左侧或右侧）趋近于 $x=a$ 时趋近的输出。左极限是从小于 $a$ 的 $x$ 方向趋近，右极限是从大于 $a$ 的 $x$ 方向趋近。
\lim_{x \to a^-} f(x) = \text{Left-hand limit (from } x < a\text{)}
\lim_{x \to a^+} f(x) = \text{Right-hand limit (from } x > a\text{)}
双侧极限存在当且仅当两个单侧极限都存在且相等。如果 $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$，则 $\lim_{x \to a} f(x) = L$。如果二者不相等，则双侧极限不存在（DNE）。
3. 无穷极限与无穷远处的极限 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
除了有限 $x=a$ 处的极限，我们从图像估计两种常见的特殊极限类型：无穷极限（当 $x$ 趋近于有限值 $a$ 时，函数趋近于 $\pm \infty$，几乎都出现在垂直渐近线处）和无穷远处的极限（当 $x$ 趋近于 $\pm \infty$ 时，函数趋近的y值，描述端点行为）。
对于垂直渐近线 $x=a$ 处的无穷极限：如果两侧都趋近于同一个符号的无穷，则写 $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ 或 $-\infty$。如果两侧趋近于符号相反的无穷，则双侧极限不存在。对于无穷远处的极限：如果当 $x \to \pm \infty$ 时图像趋近于水平线 $y=L$，则这个 $L$ 就是极限，即使函数实际上永远达不到 $L$。
4. AP风格概念检测 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
Common Pitfalls
Why: 将某点处的函数值定义与极限定义混淆，极限描述的是该点附近的行为，而非该点处的行为。
Why: 将负号与y负方向关联，而非从小于 $a$ 的方向趋近；将正号与y正方向关联，而非从大于 $a$ 的方向趋近。
Why: 忘记了双侧极限存在的要求是两个单侧极限都存在且相等。
Why: 读取极限问题时混淆了输入和输出。
Why: 错误认为函数必须实际达到极限值，极限才存在。
Why: 假设所有非有限极限都不存在，漏掉了带符号无穷极限的语境。