利用极限的代数性质求极限 — AP 微积分 AB
1. 基本代数极限法则 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
基本代数极限法则（或称极限性质）是基础规则，它允许你结合已知的单个函数极限来计算更复杂表达式的极限。以下所有法则都要求$\lim_{x \to a} f(x) = L$和$\lim_{x \to a} g(x) = M$都存在且为有限实数。
- 常数倍法则：$\lim_{x \to a} [k f(x)] = kL$ 对任意常数$k$
- 和/差法则：$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
- 乘积法则：$\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = LM$
- 商法则：$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$，当$M \neq 0$时成立
- 幂/根法则：$\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$ 对任意正整数$n$，且$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}$（若$n$为偶数则要求$L \geq 0$）
Exam tip: 应用极限法则前，请始终确认两个原极限都存在且为有限值；在处理不定式之前，不能对无穷极限应用商法则或差法则。
2. 连续函数的直接代入法 ★★☆☆☆ ⏱ 2 min
所有基本连续函数（多项式、有理函数、根式、指数函数、三角函数）在其定义域内的每一点都连续。根据一点处连续的定义，$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$，因此你可以直接将$x=a$代入函数得到准确的极限值。该方法在适用时是求极限最快的方法，但如果$f(a)$无定义则失效。
Exam tip: 对有理函数使用直接代入前，请始终检查分母；若分母为零而分子非零，则极限不存在有限值，因此不要尝试约分。
3. 因式分解求解0/0型不定式 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
AP考试中最常见的不定式是$0/0$型，它出现在直接代入后有理函数的分子分母都为零的情况。这意味着$(x-a)$是分子和分母的公因式，其中$a$是你趋近的点。因为在求$\lim_{x \to a}$时，我们只关心$a$附近的值（不包括$a$本身），所以$(x-a) \neq 0$，约去公因式在代数上是合法的。约分后，对化简后的表达式使用直接代入法即可。
Exam tip: 直接代入得到0/0后，不要直接得出极限为0或不存在的结论；请始终先检查是否有公因式。AP选择题中大多数0/0型问题都可通过因式分解得到有限极限。
4. 有理化求解不定式 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
当你得到含平方根的$0/0$型不定式时，通常无法直接因式分解。此时你可以使用有理化，它依赖平方差公式：$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$。将分子分母同时乘以根式表达式的共轭根式（改变根式项的符号）以消去根号，得到可约去的公因式，之后再使用直接代入法。
Exam tip: 请始终将分子分母同时乘以共轭根式以保持表达式的值不变；忘记乘分母是导致错误答案的常见错误。
Common Pitfalls
Why: 混淆了函数在$x=a$处的值和$x$趋近$a$时的极限；错误认为$0/0$无定义就意味着极限无定义。
Why: 混淆了$0/4 = 0$和$4/0$，后者是无定义的无穷极限。
Why: 忘记必须乘以$\frac{\text{conjugate}}{\text{conjugate}} = 1$才能保持表达式的值不变，导致结果错误。
Why: 差法则仅适用于两个极限都是有限的情况；无穷大不是有限数，因此不能直接相减。
Why: 错误假设所有函数处处连续，对于不连续函数，$f(a)$可能不等于$x$趋近$a$时$f(x)$的极限。