在一点处连续性的定义 — AP 微积分 AB
AP 微积分 AB · 第1单元：极限与连续性 · 14 min read
1. 定义域内点处连续的定义 ★★☆☆☆ ⏱ 4 min
通俗来说，如果画函数图像经过$x=a$时不需要抬笔，那么函数在$x=a$处连续。连续性是微积分的基础性质，几乎所有微积分的高级结论（从介值定理到导数、微积分基本定理）都依赖于它。
\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
每个条件都有独特的作用：第一个条件确认我们有可比较的函数值，第二个条件确认图像从两侧趋近于同一个值，第三个条件确认该点确实落在趋近的曲线上。
Exam tip: 在AP自由作答题中，证明连续性时一定要明确列出所有三个条件。即使最终结论正确，跳过任何一个条件都会扣分。
2. 定义域端点的单侧连续性 ★★☆☆☆ ⏱ 3 min
对于定义在闭区间$[a,b]$上的函数，端点处不可能存在双侧极限，因为区间外函数没有定义。因此我们用单侧连续性来定义端点处的连续性。
如果函数在所有内点处连续，在左端点右连续，在右端点左连续，那么函数在整个闭区间$[a,b]$上连续。
Exam tip: 永远不要在定义域端点处验证双侧极限。AP阅卷官会因为你引用函数定义域外不存在的极限扣分。
3. 分段函数分界点处连续性的判断 ★★★☆☆ ⏱ 4 min
AP考试中这个考点最常见的问题，就是让你判断分段函数定义改变的分界点处的连续性。分段函数的每一段单独几乎都是连续的（多项式、有理函数、三角函数在各自定义域内都连续），因此唯一可能的间断点就在分段之间的分界点。
- 从包含$x=a$的分段中求出$f(a)$。
- 用$x < a$对应的分段计算左极限$\lim_{x \to a^-} f(x)$。
- 用$x > a$对应的分段计算右极限$\lim_{x \to a^+} f(x)$。
- 确认两个单侧极限相等（因此双侧极限存在），再确认极限值等于$f(a)$。
Exam tip: 一定要将极限的方向与分段的不等式对应。交换左右分段是这类问题最常见的错误。
4. AP风格练习例题解答 ★★★☆☆ ⏱ 3 min
Common Pitfalls
Why: 学生把未化简的代数式和题目给出的函数定义混淆了，忘记题目已经明确定义了$f(3)$。
Why: 学生忘记$f(a)$可能无定义，或者$f(a)$的值和极限不相等。
Why: 学生把内点的双侧连续性定义和端点的连续性定义混淆了。
Why: 学生做题太快，误读了定义分段的不等号。
Why: 学生把端点的单侧连续性要求和内点的要求混淆了。
Quick Reference Cheatsheet