极限与连续性 (Limits and Continuity) — AP Calculus AB Calc AB 学习指南

适合谁：AP Calculus AB 参加 AP Calculus AB 的考生。

覆盖内容：极限定义与记法、代数与图像法求极限、不定式与洛必达法则入门、连续性与介值定理、渐近线与端点行为全部核心考点。

前置知识：扎实的 precalculus（函数、三角、代数）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 AP Calculus AB 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 College Board 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 College Board 官方 mark scheme。

1. 什么是极限与连续性？

极限（limit）是微积分的核心基础概念，描述的是函数自变量趋近某个值时，函数值的趋近趋势，不需要函数在该点有定义。连续性（continuity）是函数的重要性质，描述函数图像没有断点的特征，是应用介值定理、可导性判定的前提。本板块是AP Calculus AB考试的第一部分考点，占卷面分数的10%-15%，选择题和FRQ都会涉及，常与导数、积分考点结合考察。

2. 极限定义与记法

当自变量$x$从左右两侧无限趋近于常数$a$（不等于$a$）时，函数$f(x)$无限趋近于常数$L$，就称$L$是$x\to a$时$f(x)$的极限，记为： $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$ 其中$x$从左侧趋近$a$称为左极限（left-hand limit），记为${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)$；从右侧趋近称为右极限（right-hand limit），记为${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$。 极限存在的充要条件：左右极限都存在且相等，即${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)={\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=L$。

范例：函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处没有定义，但${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}(x+1)=2$，极限依然存在。

3. 极限的计算：代数法与图像法

代数法常用技巧：

1. 直接代入法：若函数在$a$处连续，直接把$x=a$代入函数即可得到极限，例如${\lim }_{x\to 2}(x^2+3)=4+3=7$。
2. 因式分解约分：针对$\frac{0}{0}$型的分式，分解分子分母的公因式后约去，例如： $$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }(x+3)=6$$
3. 有理化：分子或分母带根号时，乘以共轭式消去根号再计算。

图像法：

在函数图像上观察$x$趋近$a$时，左右两侧对应的$y$值的趋近趋势，注意间断点处的函数值不影响极限结果。

考官提示：分段函数的极限题是高频考点，必须分别计算左右极限再判断是否存在。

4. 不定式与洛必达法则入门

当极限化简后出现$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty }{\infty }$的形式时，称为不定式（indeterminate form），无法直接用代数法求值，此时可以用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）计算： 洛必达法则适用条件：① 极限为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty }{\infty }$型；② 分子$f(x)$和分母$g(x)$在$a$的去心邻域内均可导，且$g^{\prime }(x)\ne 0$，则： $$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

范例：计算${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$，属于$\frac{0}{0}$型，应用洛必达法则得${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$，和夹逼定理结果一致。 注意：非不定式不能用洛必达法则，例如${\lim }_{x\to 0}\frac{x+1}{x+2}$直接代入得$\frac{1}{2}$，用洛必达会得到错误结果1。

5. 连续性与介值定理

连续性判定三条件：

函数$f(x)$在$x=a$处连续，当且仅当同时满足：① $f(a)$有定义；② ${\lim }_{x\to a}f(x)$存在；③ ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$，三者缺一不可。

介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）：

若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则对于任意介于$f(a)$和$f(b)$之间的数值$N$，都存在至少一个$c\in [a,b]$使得$f(c)=N$。

高频考法：证明方程在某区间有实根，例如证明$x^3-x-2=0$在$(1,2)$有根：令$f(x)=x^3-x-2$，$f(x)$在$[1,2]$连续，$f(1)=-2$，$f(2)=4$，0介于-2和4之间，故存在$c\in (1,2)$使得$f(c)=0$。 扣分提示：作答IVT题时必须明确说明函数在闭区间连续，否则会被扣步骤分。

6. 渐近线与端点行为

端点行为描述的是$x$趋近正无穷或负无穷时函数的变化趋势，对应渐近线（asymptote）的判定：

1. 水平渐近线（horizontal asymptote）：若${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=L$或${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=L$，则$y=L$是水平渐近线，最多有2条。 例：${\lim }_{x\to +\infty }{e}^{-x}=0$，故$y=0$是$y=e^{-x}$的水平渐近线。
2. 垂直渐近线（vertical asymptote）：若${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$或${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$，则$x=a$是垂直渐近线，通常出现在函数定义域的间断点处。

注意：分母为0的点不一定是垂直渐近线，例如$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处分母为0，但${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$，故$x=1$是可去间断点，不是垂直渐近线。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：计算分段函数极限时只算单侧极限就判定极限存在。原因：忽略极限存在的充要条件。正确做法：先分别计算左右极限，相等时极限才存在。
2. 错误：对非不定式滥用洛必达法则。原因：记混洛必达法则的适用前提。正确做法：每次用洛必达前先验证是否为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty }{\infty }$型。
3. 错误：应用介值定理时不说明函数连续。原因：遗漏IVT的前提条件。正确做法：答题时先明确写出“$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续”，再代入端点值推导。
4. 错误：求水平渐近线时只算$x\to +\infty$的极限，漏掉$x\to -\infty$。原因：忽略正负无穷的端点行为可能不同。正确做法：分别计算$x\to \pm \infty$的极限，避免漏算水平渐近线。
5. 错误：把可去间断点当成垂直渐近线。原因：只看分母为0，不验证极限是否为无穷。正确做法：分母为0时，计算该点的左右极限，只有极限为无穷时才是垂直渐近线。

8. 练习题 (AP Calculus AB 风格)

题1：求极限${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{\sqrt{x+1}-2}$

解答：代入$x=3$得$\frac{0}{0}$型，对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{x+1}+2$： $$ \begin{align*} \lim_{x \to 3} \frac{(x^2 - 9)(\sqrt{x+1} + 2)}{(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)} &= \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+1} + 2)}{x + 1 - 4} \ &= \lim_{x \to 3} (x + 3)(\sqrt{x + 1} + 2) \ &= 6 \times (2 + 2) = 24 \end{align*} $$

题2：判断分段函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2,& x<2\\ 2,& x=2\\ 3x-4,& x>2\end{array}$在$x=2$处是否连续

解答：① 左极限${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=4-2=2$；② 右极限${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=6-4=2$；③ $f(2)=2$，三个条件都满足，故$f(x)$在$x=2$处连续。

题3：求函数$f(x)=\frac{2x^2+x-3}{x^2-2x-3}$的所有渐近线

解答：因式分解得$f(x)=\frac{(2x+3)(x-1)}{(x-3)(x+1)}$

• 垂直渐近线：$x=3$和$x=-1$，代入得极限均为无穷；
• 水平渐近线：${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x^2}{x^2}=2$，故$y=2$。

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

极限与连续性是AP Calculus AB的核心奠基内容，后续的导数定义、定积分定义、反常积分等考点全部建立在极限的逻辑之上，你熟练掌握本章节的计算规则和判定方法，才能顺利攻克后续的微分、积分高频考点，避免出现知识断层。 如果你在刷题过程中遇到不会的题目，或者对某个考点的应用有疑问，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供针对性的讲解和练习指导。