积分与微积分基本定理 (Integrals and the Fundamental Theorem) — AP Calculus AB Calc AB 学习指南

适合谁：AP Calculus AB 参加 AP Calculus AB 的考生。

覆盖内容：原函数与不定积分、左/右/中点黎曼和、微积分基本定理两部分、换元积分法、函数平均值五大考纲要求子主题。

前置知识：扎实的 precalculus（函数、三角、代数）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 AP Calculus AB 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 College Board 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 College Board 官方 mark scheme。

1. 什么是积分与微积分基本定理？

积分是微分的逆运算，核心解决两大问题：求函数的原函数族、计算连续变化量的累积值（比如曲线下面积、位移、总收益等）。微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus, FTC）是整个微积分体系的核心，打通了微分和积分两个看似独立的运算，是AP Calculus AB考试中占比最高的模块之一，分值占比约17%-20%，选择、自由作答题均会涉及。

2. 原函数与不定积分（Antiderivative and Indefinite Integral）

若可导函数$F(x)$的导数等于$f(x)$，即$F^{\prime }(x)=f(x)$，则$F(x)$称为$f(x)$的一个原函数（antiderivative）。由于常数的导数为0，$f(x)$的所有原函数可表示为$F(x)+C$（$C$为任意常数），这个集合就是$f(x)$的不定积分（indefinite integral），记为： $$\int f(x)dx=F(x)+C$$ 基础积分规则与范例：

• 幂函数积分：$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$
• 常见初等函数积分：$\int \sin xdx=-\cos x+C$，$\int e^{x}dx=e^x+C$，$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

范例：求$\int 2x^3+3\cos xdx$ 解：分项积分得$\int 2x^{3}dx+\int 3\cos xdx=2\cdot \frac{x^4}{4}+3\sin x+C=\frac{1}{2}{x}^4+3\sin x+C$ ⚠️ 不定积分必须加常数$C$，AP考试漏写$C$直接扣1分。

3. 黎曼和（Riemann Sums: Left, Right, Midpoint）

**黎曼和（Riemann sum）**是用矩形面积近似计算曲线下定积分的方法，是定积分的定义基础，考官常考近似结果和真实值的大小比较。 计算步骤：

1. 将区间$[a,b]$分为$n$个等宽子区间，每个子区间宽度$\Delta x=\frac{b-a}{n}$
2. 按规则取每个子区间的样本点计算矩形高度：

• 左黎曼和：取子区间左端点的函数值为高
• 右黎曼和：取子区间右端点的函数值为高
• 中点黎曼和：取子区间中点的函数值为高

3. 求和：$S=\Delta x\times \text{所有矩形高度之和}$

范例：用左黎曼和近似${\int }_0^2{x}^{2}dx$，$n=2$ 解：$\Delta x=\frac{2-0}{2}=1$，左端点为0和1，$S=1\times f(0)+1\times f(1)=0+1=1$ 👉 规律：递增函数左黎曼和为低估、右黎曼和为高估；递减函数反之，中点黎曼和精度最高。

4. 微积分基本定理（FTC Parts 1 and 2）

微积分基本定理分为两部分，是积分计算的核心规则：

FTC 第一部分（变上限积分求导）

若$f(x)$在$[a,b]$连续，则变上限积分$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$的导数为$f(x)$，即： $$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$ 若上限为复合函数$u(x)$，需结合链式法则，乘以上限对$x$的导数： $$\frac{d}{dx}{\int }_a^{u(x)}f(t)dt=f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$$ 范例：求$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}\sin tdt$ 解：套用公式得$\sin (x^2)\cdot 2x$

FTC 第二部分（定积分计算）

若$f(x)$在$[a,b]$连续，$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则： $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$ 范例：计算${\int }_0^2{x}^{2}dx$ 解：原函数为$\frac{x^3}{3}$，代入得$\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{8}{3}$

5. 换元积分法（Substitution Method）

**换元积分法（substitution method）**是复合函数求导的逆运算，用于处理被积函数为$f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$形式的积分：

1. 设$u=g(x)$，计算$du=g^{\prime }(x)dx$
2. 将积分变量替换为$u$：$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$
3. 计算积分后将$u$换回$g(x)$（不定积分），定积分需同步替换上下限为$u$的对应值，无需换回$x$。

范例：计算$\int 2x\cos (x^2)dx$ 解：设$u=x^2$，$du=2xdx$，积分变为$\int \cos udu=\sin u+C=\sin (x^2)+C$

6. 函数的平均值（Average Value of a Function）

离散数据的平均值是总和除以个数，连续函数在区间$[a,b]$上的**平均值（average value of a function）**是积分值除以区间长度： $$f_{avg}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$ 同时存在积分中值定理：区间$[a,b]$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=f_{avg}$，该考点偶尔出现在选择题中。

范例：求$f(x)=x^2$在$[0,2]$的平均值 解：$f_{avg}=\frac{1}{2-0}{\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{1}{2}\times \frac{8}{3}=\frac{4}{3}$

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 不定积分漏写常数$C$：学生觉得$C$不重要，但AP考试明确规定不定积分漏$C$扣1分，正确做法是所有不定积分结果末尾都加$C$。
2. 黎曼和忘乘$\Delta x$：学生计算时仅累加函数值，忘记乘以子区间宽度，正确做法是先算$\Delta x$，所有高度求和后统一乘$\Delta x$。
3. FTC1求导漏乘链式法则项：当变上限积分的上限是$x^3$、$\sin x$等复合函数时，直接写$f(u(x))$漏乘$u^{\prime }(x)$，正确做法是只要上限不是$x$本身，必须乘以上限的导数。
4. 定积分换元不换上下限：换元后仍用$x$的上下限代入$u$的原函数，容易算错，正确做法是换元后立刻更新上下限为$u$的对应值，直接计算即可。
5. 平均值公式漏除区间长度：学生直接将定积分结果当作平均值，正确做法是记住平均值是积分除以区间长度$b-a$。

8. 练习题 (AP Calculus AB 风格)

题1

求不定积分$\int 4x^3+2e^x-{\sec }^{2}xdx$ 解答：分项积分得： $$\int 4x^{3}dx+\int 2e^{x}dx-\int {\sec }^{2}xdx=x^4+2e^x-\tan x+C$$

题2

$f(x)=\sqrt{x}$在区间$[1,9]$分为4个等宽子区间，用中点黎曼和近似${\int }_1^{9}f(x)dx$ 解答：$\Delta x=\frac{9-1}{4}=2$，子区间中点为2、4、6、8： $$S=2\times (\sqrt{2}+\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{8})\approx 2\times (1.414+2+2.449+2.828)\approx 17.38$$

题3

用换元法计算定积分${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}3\sin x\cos xdx$ 解答：设$u=\sin x$，$du=\cos xdx$，$x=0$时$u=0$，$x=\frac{\pi }{2}$时$u=1$： $${\int }_0^{1}3udu=3\times \frac{u^2}{2}{|}_0^1=\frac{3}{2}$$

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

本模块是AP Calculus AB后续积分应用（平面图形面积、旋转体体积、运动学累积问题、微分方程）的核心基础，积分计算的熟练度直接决定了后续考点的得分率，该模块相关内容占总分的30%以上，建议你结合官方真题多练手，提高计算速度和准确率。 如果你在练题过程中有任何疑问，或者需要更多同考点的针对性练习题，随时到小欧主页提问哦。