积分应用 (Applications of Integration) — AP Calculus AB Calc AB 学习指南

适合谁：AP Calculus AB 参加 AP Calculus AB 的考生。

覆盖内容：曲线间面积、圆盘/垫圈法求旋转体体积、截面法求体积、粒子运动位移与路程计算、可分离微分方程求解五大核心子主题

前置知识：扎实的 precalculus（函数、三角、代数）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 AP Calculus AB 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 College Board 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 College Board 官方 mark scheme。

1. 什么是积分应用？

积分应用是将定积分的黎曼和核心思想（将连续量拆分为无限小的离散单元求和）延伸到几何、物理、微分方程场景的实用模块，是AP Calculus AB考试占比10%-15%的核心单元，对应考纲CED第5单元。你之前学习的定积分计算只是工具，本单元会教你如何用这个工具解决真实场景下的连续量求解问题，考点覆盖选择题和自由回答题（FRQ），是拿5分必须掌握的内容。

2. 曲线间面积（Area between curves）

曲线间面积是积分应用最基础的几何考点，核心逻辑是两个函数在同一区间内的差值积分。

核心规则

• 若函数以$y=f(x)$、$y=g(x)$的形式给出，在区间$[a,b]$内恒有$f(x)\ge g(x)$，则两条曲线在区间内围成的**面积（area）**为： $$A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$$
• 若函数以$x=p(y)$、$x=q(y)$的形式给出，在区间$[c,d]$内恒有$p(y)\ge q(y)$，则面积为右函数减左函数的积分： $$A={\int }_c^d[p(y)-q(y)]dy$$
• 若两个函数在区间内有交叉，需要先求交点拆分积分区间，每个区间内分别取上减下/右减左。

范例

求$y=x^2$和$y=x$在第一象限围成的面积：

1. 求交点：$x^2=x⟹x=0,x=1$，积分区间为$[0,1]$
2. 区间内$x\ge x^2$，代入公式得： $$A={\int }_0^1(x-x^2)dx={\left(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3\right)|}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

3. 旋转体体积：圆盘与垫圈法（Volume of revolution — disk and washer）

旋转体体积是将平面区域绕某条轴旋转得到的立体体积，是AB考试FRQ的高频考点。

圆盘法（Disk Method）

当旋转区域和旋转轴之间没有空隙时适用，本质是无限多个薄圆盘的体积求和：

• 绕$x$轴旋转：$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$，其中$f(x)$是圆盘半径
• 绕$y$轴旋转：$V=\pi {\int }_c^d[g(y){]}^{2}dy$，其中$g(y)$是圆盘半径

垫圈法（Washer Method）

当旋转区域和旋转轴之间有空隙（形成空心立体）时适用，本质是外圆盘减内圆盘的体积求和： $$V=\pi {\int }_a^b[R(x{)}^2-r(x{)}^2]dx$$ 其中$R(x)$是外半径，$r(x)$是内半径，注意不要写成$(R(x)-r(x){)}^2$。

范例

$y=x$和$y=x^2$在$[0,1]$围成的区域绕$x$轴旋转，求体积：

1. 外半径$R(x)=x$，内半径$r(x)=x^2$
2. 代入公式得： $$V=\pi {\int }_0^1(x^2-x^4)dx=\pi {\left(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{5}{x}^5\right)|}_0^1=\pi \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{2\pi }{15}$$

4. 截面法求体积（Volumes by cross-sections）

截面法适用于已知立体垂直于某条轴的截面形状的场景，核心逻辑是无限多个薄截面的体积求和： $$V={\int }_a^{b}A(x)dx$$ 其中$A(x)$是$x$位置处的截面面积，常见截面包括正方形、等边三角形、半圆等。

范例

已知立体底面是$x^2+y^2=4$的圆，垂直于$x$轴的截面为正方形，求体积：

1. 底面$y=\sqrt{4-x^2}$，截面正方形边长为$2y=2\sqrt{4-x^2}$
2. 截面面积$A(x)=(2\sqrt{4-x^2}{)}^2=4(4-x^2)$
3. 积分区间$[-2,2]$，代入得： $$V={\int }_{-2}^{2}4(4-x^2)dx=4{\left(4x-\frac{1}{3}{x}^3\right)|}_{-2}^2=4\left(16-\frac{16}{3}\right)=\frac{128}{3}$$

5. 粒子运动：由速度求位置（Particle motion — position from velocity）

这是积分应用的物理考点，FRQ常考，核心区分位移（displacement）和总路程（total distance）：

• 位移：速度函数$v(t)$在区间$[a,b]$的积分，是矢量，有正负： $$s(b)-s(a)={\int }_a^{b}v(t)dt$$
• 总路程：速度绝对值的积分，是标量，恒为正： $$D={\int }_a^b|v(t)|dt$$ 计算路程时需要先找$v(t)=0$的点，拆分区间去掉绝对值后分段积分。

范例

已知粒子速度$v(t)=t^2-4$，初始位置$s(0)=0$，求$t=3$时的位移和$[0,3]$内的总路程：

1. 位移：${\int }_0^3(t^2-4)dt={\left(\frac{1}{3}{t}^3-4t\right)|}_0^3=9-12=-3$
2. 找$v(t)=0$的点：$t=2$，$[0,2]$内$v(t)\le 0$，$[2,3]$内$v(t)\ge 0$
3. 路程：${\int }_0^2(4-t^2)dt+{\int }_2^3(t^2-4)dt=\frac{16}{3}+\frac{7}{3}=\frac{23}{3}$

6. 微分方程：可分离型（Differential equations — separable）

可分离微分方程是AB考试唯一要求掌握的微分方程类型，核心逻辑是将变量分离到等号两侧分别积分：

解法步骤

1. 整理方程为$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$的形式
2. 分离变量：$\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$
3. 两侧分别积分：$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$，注意不要漏常数$C$
4. 代入初始条件求$C$，得到特解

范例

解微分方程$\frac{dy}{dx}=2xy$，初始条件$y(0)=3$：

1. 分离变量：$\frac{1}{y}dy=2xdx$
2. 积分：$\ln |y|=x^2+C$
3. 代入初始条件：$\ln 3=0+C⟹C=\ln 3$
4. 整理得特解：$y=3e^{x^2}$

7. 常见陷阱（Common Pitfalls）

1. 错误做法：计算曲线间面积时直接将两个函数相减积分，不管上下位置得到负数结果。原因：混淆定积分的代数意义和面积的几何意义。正确做法：先判断区间内函数大小，或直接对差值加绝对值积分。
2. 错误做法：垫圈法计算时将$(R-r{)}^2$代替$R^2-r^2$，或忘记乘$\pi$。原因：公式记忆不牢。正确做法：记住垫圈是外圆盘减内圆盘，分别平方后再相减乘$\pi$。
3. 错误做法：粒子运动问题中将位移和路程混淆，直接积分速度求路程。原因：忽略速度的矢量性。正确做法：路程必须积分速度的绝对值，先找速度为0的点拆分区间。
4. 错误做法：解可分离微分方程时忘记加常数$C$，或积分完直接代入初始条件。原因：忽略不定积分的常数项要求。正确做法：每次不定积分都要加$C$，再代入初始条件求具体值。

8. 练习题（AP Calculus AB 风格）

题1

求$y=\sin x$和$y=\cos x$在区间$[0,\frac{\pi }{2}]$内围成的面积。 解答：

1. 求交点：$\sin x=\cos x⟹x=\frac{\pi }{4}$
2. $[0,\frac{\pi }{4}]$内$\cos x\ge \sin x$，$[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$内$\sin x\ge \cos x$
3. 积分计算： $$A={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\cos x-\sin x)dx+{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}(\sin x-\cos x)dx$$ $$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}-2\approx 0.828$$

题2

区域由$y=\sqrt{x}$、$x=4$、$y=0$围成，绕$y$轴旋转，用垫圈法求体积。 解答：

1. 改写为$y$的函数：$x=y^2$，积分区间$y\in [0,2]$
2. 外半径$R=4$，内半径$r=y^2$
3. 代入公式： $$V=\pi {\int }_0^2(4^2-(y^2{)}^2)dy=\pi {\int }_0^2(16-y^4)dy$$ $$=\pi {\left(16y-\frac{1}{5}{y}^5\right)|}_0^2=\pi \left(32-\frac{32}{5}\right)=\frac{128\pi }{5}$$

题3

粒子速度$v(t)=3t^2-12$，初始位置$s(0)=5$，求$t=3$时的位置和$[0,3]$内的总路程。 解答：

1. 位置：$s(3)=5+{\int }_0^3(3t^2-12)dt=5+(27-36)=-4$
2. 速度为0的点：$3t^2-12=0⟹t=2$
3. 路程： $$D={\int }_0^2(12-3t^2)dt+{\int }_2^3(3t^2-12)dt$$ $$=(24-8)+(27-36-8+24)=16+7=23$$

9. 速查表（Quick Reference Cheatsheet）

10. 接下来怎么学

本单元的黎曼和拆分思想是AP微积分所有应用类考点的核心，后续你学习的其他定积分拓展场景、甚至AP Calculus BC的级数内容都会以此为基础。本单元在考试中占比稳定在10%-15%，FRQ几乎每年都会考1道相关大题，一定要多刷历年真题熟练各类题型的解题步骤，避免低级错误。 如果你在刷题过程中遇到任何积分应用相关的疑问，不管是考点理解还是解题步骤卡壳，都可以随时来小欧提问，我们会给你针对性的讲解和练习指导。