导数 (Derivatives) — AP Calculus AB Calc AB 学习指南

适合谁：AP Calculus AB 参加 AP Calculus AB 的考生。

覆盖内容：导数作为瞬时变化率的定义、幂/积/商/链式四大求导法则、隐函数求导方法、指数/对数/三角函数导数公式、高阶导数计算。

前置知识：扎实的 precalculus（函数、三角、代数）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 AP Calculus AB 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 College Board 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 College Board 官方 mark scheme。

1. 什么是导数(Derivatives)？

导数的核心本质是函数在某一点的瞬时变化率(instantaneous rate of change)，是函数割线斜率在两点无限趋近时的极限。它是AP微积分AB的核心基础板块，占考试总分的15%左右，选择题和自由回答题(FRQ)都会直接或间接考查，也是后续导数应用、积分计算的前置技能。 常见的导数记号有三种：函数$f(x)$的导数可记为$f^{\prime }(x)$、$\frac{dy}{dx}$或$\frac{d}{dx}f(x)$，考场上三种记号都通用，按题干要求选择即可。

2. 导数作为瞬时变化率(Derivative as instantaneous rate of change)

导数的严格定义来自差商的极限：对于函数$f(x)$，它在$x=a$处的导数为： $$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ 几何意义上，这个值就是函数曲线在$x=a$处的切线斜率；物理意义上，若$f(x)$是位移函数，$f^{\prime }(a)$就是$x=a$时刻的瞬时速度。 范例：用定义求$f(x)=3x^2+1$在$x=1$处的导数： $$f^{\prime }(1)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{3(1+h{)}^2+1-(3\ast 1^2+1)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{6h+3h^2}{h}=6$$ 即$f(x)$在$x=1$处的切线斜率为6，瞬时变化率为6。

3. 基本求导法则：幂、积、商、链式法则(Differentiation rules)

用定义求导效率极低，考场上你可以直接用以下四个标准化求导法则：

1. 幂法则(power rule)：对于任意实数$n$，$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$，常数的导数为0；
2. 积法则(product rule)：两个函数相乘的导数为$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$；
3. 商法则(quotient rule)：两个函数相除的导数为$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$，要求$g(x)\ne 0$；
4. 链式法则(chain rule)：复合函数$f(g(x))$的导数为$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$，这是考官最常考的法则，几乎所有复合函数求导都要用到。 范例：求$f(x)=(2x^3+5x{)}^4$的一阶导数： 令内层函数$u=2x^3+5x$，外层函数为$u^4$，由链式法则得： $$f^{\prime }(x)=4u^3\cdot (6x^2+5)=4(2x^3+5x{)}^3(6x^2+5)$$

4. 隐函数求导(Implicit differentiation)

当$x$和$y$的关系无法写成$y=f(x)$的显式形式时（比如$x^2+y^2=4$），你需要用隐函数求导：对等式两边同时关于$x$求导，所有含$y$的项求导时都要乘$\frac{dy}{dx}$（因为$y$是$x$的函数，需应用链式法则），最后整理得到$\frac{dy}{dx}$的表达式即可。 范例：求$x^2+xy+y^2=3$在点$(1,1)$处的切线斜率： 两边对$x$求导： $$2x+\left(y+x\cdot \frac{dy}{dx}\right)+2y\cdot \frac{dy}{dx}=0$$ 整理得$\frac{dy}{dx}(x+2y)=-2x-y$，代入$(1,1)$得$\frac{dy}{dx}=\frac{-3}{3}=-1$，即切线斜率为-1。

5. 指数、对数、三角函数的导数(Derivatives of $e^x,\ln x$, trig functions)

以下特殊函数的导数是必背考点，考场上不会给出：

• 指数函数：$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$
• 对数函数：$\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{1}{x}$（$x\ne 0$，绝对值保证定义域覆盖正负）
• 三角函数： $$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x$$ $$\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x\frac{d}{dx}\cot x=-{\csc }^{2}x$$ 范例：求$f(x)=e^{\sin 2x}+\ln (3x^2+1)$的导数： 应用链式法则得： $$f^{\prime }(x)=e^{\sin 2x}\cdot 2\cos 2x+\frac{6x}{3x^2+1}$$

6. 高阶导数(Higher-order derivatives)

对一阶导数再次求导得到的就是二阶导数，以此类推得到更高阶的导数，常见记号：

• 二阶导数：$f^{\prime \prime }(x)$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$，物理意义是位移函数的瞬时加速度
• $n$阶导数：$f^{(n)}(x)$、$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$ 范例：求$f(x)=e^{3x}+x^3$的二阶导数： 一阶导数：$f^{\prime }(x)=3e^{3x}+3x^2$ 二阶导数：$f^{\prime \prime }(x)=9e^{3x}+6x$

7. 常见陷阱(Common Pitfalls)

1. 错误：链式法则漏乘内层导数，比如求$\sin (2x)$导数直接写$\cos (2x)$。原因：忘记$2x$是内层函数，需要单独求导。正确做法：先拆分复合函数的外层、内层，逐层求导后相乘。
2. 错误：商法则分子顺序写反，写成$f(x)g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)g(x)$。原因：和积法则的顺序记混。正确做法：记口诀“上导下减下导上，分母平方不能忘”。
3. 错误：隐函数求导时含$y$的项漏乘$\frac{dy}{dx}$，比如求$y^2$的导数直接写$2y$。原因：没有意识到$y$是$x$的函数，需应用链式法则。正确做法：只要是对$x$求导，所有含$y$的项都要乘$\frac{dy}{dx}$。
4. 错误：求$\ln x$导数时忽略定义域，直接写$\frac{1}{x}$但不注明$x>0$。原因：忘记对数函数的定义域限制。正确做法：统一写$\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{1}{x}$，覆盖所有非零定义域。

8. 练习题(AP Calculus AB 风格)

题1

求$f(x)=(x^2-2x)\cos x$的一阶导数。 解答：应用积法则： $$f^{\prime }(x)=(2x-2)\cos x+(x^2-2x)(-\sin x)=(2x-2)\cos x-(x^2-2x)\sin x$$

题2

已知$x^3+y^3=9xy$，求$\frac{dy}{dx}$的表达式。 解答：隐函数求导，两边对$x$求导： $$3x^2+3y^2\cdot \frac{dy}{dx}=9y+9x\cdot \frac{dy}{dx}$$ 整理得$\frac{dy}{dx}(3y^2-9x)=9y-3x^2$，化简得： $$\frac{dy}{dx}=\frac{3y-x^2}{y^2-3x}$$

题3

求$f(x)=\ln (\cos x)$的二阶导数。 解答：一阶导数应用链式法则： $$f^{\prime }(x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$$ 二阶导数： $$f^{\prime \prime }(x)=-{\sec }^{2}x$$

9. 速查表(Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

导数是整个AP微积分AB的核心支柱，后续的导数应用（极值求解、相关变化率、运动学问题）、不定积分（求导的逆运算）、定积分计算、微分方程所有板块都直接依赖本章的求导熟练度，如果你现在求导还需要翻公式，一定要先把速查表的内容背熟，达到10秒内能写出任意常见函数导数的水平，再推进后续内容的学习。 如果你在刷题过程中遇到任何求导相关的错题、考点疑问，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供针对性的讲解和练习资源。