放射性衰变

IB 物理 SL· 5.2 放射性衰变· 45 分钟阅读

1. 放射性衰变的性质★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

放射性衰变

不稳定原子核发生的自发随机过程，会释放电离辐射，形成更稳定的子核。

例:

碳-14通过β⁻衰变形成稳定的氮-14。

放射性衰变有两个核心性质，这在IB考试中经常考察。自发意味着该过程不会被外界条件触发或改变：温度、压力和化学键合对衰变速率没有影响。随机意味着我们只能预测一组原子核的衰变概率，永远无法预测单个原子核何时衰变。

📐 例题

解释为什么放射性衰变同时被描述为自发和随机。

1
首先，解释本语境中自发的含义：
2
自发意味着衰变无需任何外界触发或原因即可发生。它不受温度、压力或化学状态等外界环境因素影响。
3
接下来，解释随机的含义：
4
随机意味着我们不可能准确预测任意单个原子核何时衰变。我们只能给出给定时间间隔内一个原子核发生衰变的概率。

2. 衰变常数与活度★★☆☆☆⏱ 20 min

📘 定义

衰变常数

$λ$

单个未衰变原子核在单位时间内发生衰变的概率。

例:

衰变常数为 $0.1 s^{- 1}$ 意味着每个原子核每秒有10%的概率发生衰变。

📘 定义

活度

$A$

放射性样品的总衰变速率，等于每秒发生衰变的次数。

例:

1贝克勒尔 (Bq) = 1次衰变每秒。

放射性衰变的基本关系连接了活度、衰变常数和未衰变原子核的数量：

A = \lambda N

由此可以得到未衰变原子核数量和活度随时间变化的指数衰变定律：

N = N_0 e^{-\lambda t} \quad \text{and} \quad A = A_0 e^{-\lambda t}

📐 例题

一份放射性样品含有 $2.0 \times 1 0^{15}$ 个未衰变原子核，衰变常数为 $3.4 \times 1 0^{- 7} s^{- 1}$ 。计算样品的活度，单位为Bq。

1
回忆活度、衰变常数和未衰变原子核数量之间的关系：
2
$A = \lambda N$
3
将给定数值代入方程：
4
$A = (3.4 \times 10^{-7} \text{ s}^{-1}) \times (2.0 \times 10^{15}) = 6.8 \times 10^8 \text{ Bq$

3. 半衰期★★★☆☆⏱ 25 min

📘 定义

半衰期

$T_{1/2}$

样品中原有未衰变原子核数量衰变一半所需的时间，等价于样品活度降低至初始值一半所需的时间。

🔬 推导

目标:

推导半衰期与衰变常数之间的关系

起点:

指数衰变定律： $N = N_{0} e^{- λ t}$

1
根据定义，经过一个半衰期后 $t = T_{1/2}$ ，此时 $N = \frac{N _{0}}{2}$ 。代入衰变定律：
2
$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$
3
两边消去 $N_{0}$ ：
4
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$
5
对两边取自然对数：
6
$\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda T_{1/2} \implies -\ln 2 = -\lambda T_{1/2}$
7
整理得到最终关系：
8
$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$

结果:

半衰期与衰变常数成反比：衰变更快的同位素（更大的 $λ$ ）半衰期更短。

📐 例题

锶-90的半衰期为28年。计算锶-90的衰变常数，单位为 $year^{- 1}$ 。

1
整理半衰期关系，求解衰变常数：
2
$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$
3
代入给定的半衰期数值：
4
$\lambda = \frac{0.693}{28} \approx 0.025 \text{ year}^{-1}$

✓ 快速检测

测试你对半衰期关系的理解：

衰变常数为 $0.1 s^{- 1}$ 的样品，半衰期是多少？
- 0.069 s
- 6.9 s
- 1.44 s
- 14.4 s
显示答案
6.9 s —
正确！ $T_{1/2} = \frac{l n 2}{λ} = \frac{0.693}{0.1} = 6.9 s$ 。如果你得到0.069，说明你颠倒了半衰期和衰变常数的关系。

4. 求解衰变问题★★★☆☆⏱ 20 min

方法对比

求解衰变问题有两种常用方法，分别适用于不同场景：

数半衰期个数法

计算半衰期个数 $n = \frac{总时间}{T _{1/2}}$ ，然后 $A = \frac{A _{0}}{2 ^{n}}$ 或 $N = \frac{N _{0}}{2 ^{n}}$

+ 优点: 快速简便; 计算出错概率低

− 缺点: 仅适用于整数个半衰期的情况

指数衰变方程法

计算 $λ = \frac{l n 2}{T _{1/2}}$ ，然后代入 $N = N_{0} e^{- λ t}$ 或 $A = A_{0} e^{- λ t}$

+ 优点: 适用于任意时间，包括非整数个半衰期的情况

− 缺点: 步骤更多，出现单位错误或计算错误的概率更高

📐 例题

一份碘-131样品的初始活度为800 Bq。碘-131的半衰期为8天。计算32天后样品的活度。

1
方法1（数半衰期个数法）：计算半衰期个数：
2
$n = \frac{32 \text{ days}}{8 \text{ days per half-life}} = 4$
3
计算最终活度：
4
$A = \frac{A_0}{2^n} = \frac{800}{2^4} = \frac{800}{16} = 50 \text{ Bq}$
5
方法2（指数衰变方程法，用于验证结果）：
6
$\lambda = \frac{\ln 2}{8} \approx 0.0866 \text{ day}^{-1}$
7
$A = 800 e^{-(0.0866)(32)} = 800 e^{-2.77} \approx 50 \text{ Bq}$

5. 常见陷阱

错误做法:

将自发衰变定义为快速发生的衰变

原因:

自发与衰变速率无关，它指的是衰变过程不需要外界因素触发。

正确做法:

自发衰变的正确定义是：无需外界原因即可发生，且不受温度、压力等外界条件影响的衰变。

错误做法:

在衰变方程中使用以10为底的指数，而非以 $e$ 为底的指数

原因:

IB物理始终使用自然指数形式的衰变定律，混淆底数会得到错误结果。

正确做法:

始终使用 $N = N_{0} e^{- λ t}$ ，并牢记 $T_{1/2} = \frac{l n 2}{λ}$ 。

错误做法:

混淆衰变常数和时间 $t$ 的单位

原因:

衰变常数的时间单位必须与衰变方程中输入的时间单位一致，否则结果会出现数量级错误。

正确做法:

代入衰变方程前，始终将衰变常数的单位转换为与 $t$ 相同的时间单位。

错误做法:

认为半衰期是所有原子核衰变完所需时间的一半

原因:

半衰期是同位素的恒定属性，与原有原子核的数量无关。

正确做法:

记住半衰期始终是当前未衰变原子核数量衰变一半所需的时间。

6. 速查表

物理量	符号	核心关系	单位
未衰变原子核	$N$	$N = N_{0} e^{- λ t}$	无单位（计数）
活度	$A$	$A = λ N = A_{0} e^{- λ t}$	贝克勒尔 (Bq)
衰变常数	$λ$	$λ = \frac{l n 2}{T _{1/2}}$	时间 $^{- 1}$
半衰期	$T_{1/2}$	$T_{1/2} = \frac{l n 2}{λ}$	时间
经过 $n$ 个半衰期后	$A_{n}$	$A_{n} = \frac{A _{0}}{2 ^{n}}$	Bq

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Paper 1
半衰期计算
2022 · Paper 2
衰变方程问题
2021 · Paper 1
衰变性质问题

下一步

掌握放射性衰变对于理解核物理的实际应用至关重要，从放射性碳定年到医学放射剂量都离不开它。本小节也是核物理单元其余内容的基础，包括结合能、核反应、裂变和聚变。指数衰变概念经常与其他考点结合出题，因此现在练习衰变问题可以帮助你在Paper 1和Paper 2考试中轻松拿到分数。

→核反应
→核裂变与核聚变