# 放射性衰变

> IB 物理 SL · 第5单元：核物理与量子物理
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u5-radioactive-decay/

本小节针对IB物理SL考试，讲解了放射性衰变的自发随机性、衰变常数、半衰期与活度之间的核心关系，以及如何求解定量指数衰变问题。

**先修:** [核结构与同位素](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u5-nuclear-structure/)

## 学习目标

- 区分放射性衰变的自发性和随机性
- 定义衰变常数、活度和半衰期
- 推导并使用关系 $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$
- 求解放射性指数衰变的定量问题

## 放射性衰变的性质

**放射性衰变** — 不稳定原子核发生的自发随机过程，会释放电离辐射，形成更稳定的子核。

*例:* 碳-14通过β⁻衰变形成稳定的氮-14。

放射性衰变有两个核心性质，这在IB考试中经常考察。自发意味着该过程不会被外界条件触发或改变：温度、压力和化学键合对衰变速率没有影响。随机意味着我们只能预测一组原子核的衰变概率，永远无法预测单个原子核何时衰变。

> **info**
>
> 与随温度变化的化学反应速率不同，放射性衰变速率完全恒定，不受外界条件影响。这就是为什么放射性碳定年法可以在数千年间保持可靠的原因。

**例题:** 解释为什么放射性衰变同时被描述为自发和随机。

1. 首先，解释本语境中自发的含义：
2. 自发意味着衰变无需任何外界触发或原因即可发生。它不受温度、压力或化学状态等外界环境因素影响。
3. 接下来，解释随机的含义：
4. 随机意味着我们不可能准确预测任意单个原子核何时衰变。我们只能给出给定时间间隔内一个原子核发生衰变的概率。

## 衰变常数与活度

**衰变常数** — 单个未衰变原子核在单位时间内发生衰变的概率。

*记法:* $\lambda$

*例:* 衰变常数为 $0.1 \text{ s}^{-1}$ 意味着每个原子核每秒有10%的概率发生衰变。

**活度** — 放射性样品的总衰变速率，等于每秒发生衰变的次数。

*记法:* $A$

*例:* 1贝克勒尔 (Bq) = 1次衰变每秒。

放射性衰变的基本关系连接了活度、衰变常数和未衰变原子核的数量：

$$A = \lambda N$$

由此可以得到未衰变原子核数量和活度随时间变化的指数衰变定律：

$$N = N_0 e^{-\lambda t} \quad \text{and} \quad A = A_0 e^{-\lambda t}$$

**例题:** 一份放射性样品含有 $2.0 \times 10^{15}$ 个未衰变原子核，衰变常数为 $3.4 \times 10^{-7} \text{ s}^{-1}$。计算样品的活度，单位为Bq。

1. 回忆活度、衰变常数和未衰变原子核数量之间的关系：
2. $$A = \lambda N$$
3. 将给定数值代入方程：
4. $$A = (3.4 \times 10^{-7} \text{ s}^{-1}) \times (2.0 \times 10^{15}) = 6.8 \times 10^8 \text{ Bq$$

## 半衰期

**半衰期** — 样品中原有未衰变原子核数量衰变一半所需的时间，等价于样品活度降低至初始值一半所需的时间。

*记法:* $T_{1/2}$

**推导:** 推导半衰期与衰变常数之间的关系

*起点:* 指数衰变定律：$N = N_0 e^{-\lambda t}$

1. 根据定义，经过一个半衰期后 $t = T_{1/2}$，此时 $N = \frac{N_0}{2}$。代入衰变定律：
2. $$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$$
3. 两边消去 $N_0$：
4. $$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$$
5. 对两边取自然对数：
6. $$\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda T_{1/2} \implies -\ln 2 = -\lambda T_{1/2}$$
7. 整理得到最终关系：
8. $$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

*结论:* 半衰期与衰变常数成反比：衰变更快的同位素（更大的 $\lambda$）半衰期更短。

**例题:** 锶-90的半衰期为28年。计算锶-90的衰变常数，单位为 $\text{year}^{-1}$。

1. 整理半衰期关系，求解衰变常数：
2. $$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$
3. 代入给定的半衰期数值：
4. $$\lambda = \frac{0.693}{28} \approx 0.025 \text{ year}^{-1}$$

**概念自测**

测试你对半衰期关系的理解：

1. 衰变常数为 $0.1 \text{ s}^{-1}$ 的样品，半衰期是多少？

   - 0.069 s
   - 6.9 s
   - 1.44 s
   - 14.4 s

   *解析:* 正确！$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{0.1} = 6.9 \text{ s}$。如果你得到0.069，说明你颠倒了半衰期和衰变常数的关系。

## 求解衰变问题

**方法对比**

求解衰变问题有两种常用方法，分别适用于不同场景：

- **数半衰期个数法** — 计算半衰期个数 $n = \frac{\text{总时间}}{T_{1/2}}$，然后 $A = \frac{A_0}{2^n}$ 或 $N = \frac{N_0}{2^n}$
  - 优点: 快速简便; 计算出错概率低
  - 缺点: 仅适用于整数个半衰期的情况

- **指数衰变方程法** — 计算 $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$，然后代入 $N = N_0 e^{-\lambda t}$ 或 $A = A_0 e^{-\lambda t}$
  - 优点: 适用于任意时间，包括非整数个半衰期的情况
  - 缺点: 步骤更多，出现单位错误或计算错误的概率更高

**例题:** 一份碘-131样品的初始活度为800 Bq。碘-131的半衰期为8天。计算32天后样品的活度。

1. 方法1（数半衰期个数法）：计算半衰期个数：
2. $$n = \frac{32 \text{ days}}{8 \text{ days per half-life}} = 4$$
3. 计算最终活度：
4. $$A = \frac{A_0}{2^n} = \frac{800}{2^4} = \frac{800}{16} = 50 \text{ Bq}$$
5. 方法2（指数衰变方程法，用于验证结果）：
6. $$\lambda = \frac{\ln 2}{8} \approx 0.0866 \text{ day}^{-1}$$
7. $$A = 800 e^{-(0.0866)(32)} = 800 e^{-2.77} \approx 50 \text{ Bq}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 将自发衰变定义为快速发生的衰变
  - 原因: 自发与衰变速率无关，它指的是衰变过程不需要外界因素触发。
  - 正确做法: 自发衰变的正确定义是：无需外界原因即可发生，且不受温度、压力等外界条件影响的衰变。
- **错误做法:** 在衰变方程中使用以10为底的指数，而非以 $e$ 为底的指数
  - 原因: IB物理始终使用自然指数形式的衰变定律，混淆底数会得到错误结果。
  - 正确做法: 始终使用 $N = N_0 e^{-\lambda t}$，并牢记 $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$。
- **错误做法:** 混淆衰变常数和时间 $t$ 的单位
  - 原因: 衰变常数的时间单位必须与衰变方程中输入的时间单位一致，否则结果会出现数量级错误。
  - 正确做法: 代入衰变方程前，始终将衰变常数的单位转换为与 $t$ 相同的时间单位。
- **错误做法:** 认为半衰期是所有原子核衰变完所需时间的一半
  - 原因: 半衰期是同位素的恒定属性，与原有原子核的数量无关。
  - 正确做法: 记住半衰期始终是当前未衰变原子核数量衰变一半所需的时间。

## 速查表

| 物理量 | 符号 | 核心关系 | 单位 |
| --- | --- | --- | --- |
| 未衰变原子核 | $N$ | $N = N_0 e^{-\lambda t}$ | 无单位（计数） |
| 活度 | $A$ | $A = \lambda N = A_0 e^{-\lambda t}$ | 贝克勒尔 (Bq) |
| 衰变常数 | $\lambda$ | $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ | 时间$^{-1}$ |
| 半衰期 | $T_{1/2}$ | $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ | 时间 |
| 经过$n$个半衰期后 | $A_n$ | $A_n = \frac{A_0}{2^n}$ | Bq |

## 下一步

掌握放射性衰变对于理解核物理的实际应用至关重要，从放射性碳定年到医学放射剂量都离不开它。本小节也是核物理单元其余内容的基础，包括结合能、核反应、裂变和聚变。指数衰变概念经常与其他考点结合出题，因此现在练习衰变问题可以帮助你在Paper 1和Paper 2考试中轻松拿到分数。

- [核反应](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u5-nuclear-reactions/)
- [核裂变与核聚变](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u5-nuclear-fission-and-fusion/)

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