驻波

IB 物理 SL· 第三单元3.4节驻波· 15 分钟阅读

1. 驻波的形成与核心性质★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

驻波

当两列全同波沿同一介质向相反方向传播并干涉后形成的静止波形

例:

入射波与它在固定边界的反射波发生干涉

与行波不同，驻波不会在介质中传递净能量。相邻波节之间的所有点都同相振动，振幅从零（波节处）到最大值（波腹处）不等。

IB考试中的关键间距规则：

相邻波节或相邻波腹之间的距离： $\frac{λ}{2}$
波节到最近波腹的距离： $\frac{λ}{4}$

📐 例题

驻波上相邻波腹间距为20 cm，求原行波的波长是多少？

1
记住相邻波腹间距为半个波长：
2
$\frac{\lambda}{2} = 20 \text{ cm}$
3
整理求解总波长：
4
$\lambda = 2 \times 20 = 40 \text{ cm}$

Exam tip:

考试中如果要求画驻波，一定要清晰标注波节和波腹

2. 两端固定弦上的驻波★★☆☆☆⏱ 4 min

当弦两端固定时，两端都不能移动，因此两端都必须是波节。这对允许存在的波长产生了约束：弦长 $L$ 必须等于半波长的整数倍。

L = n \frac{\lambda_n}{2}, \quad n = 1, 2, 3, ...

利用波速方程 $v = f λ$ ，我们可以整理得到n次谐波的频率：

f_n = \frac{n v}{2 L}

$n = 1$ 是基频（一次谐波）， $n = 2$ 是二次谐波，依此类推。两端固定弦允许所有整数次谐波存在。

📐 例题

一根长1.5 m的两端固定弦，波速为300 m/s，计算二次谐波的频率。

1
确定各参数值： $n = 2$ ， $v = 300$ m/s， $L = 1.5$ m
2
代入两端固定弦的频率公式：
3
$f_2 = \frac{n v}{2 L} = \frac{2 \times 300}{2 \times 1.5}$
4
计算最终结果：
5
$f_2 = \frac{600}{3} = 200 \text{ Hz}$

3. 开管和闭空气柱中的驻波★★★☆☆⏱ 4 min

驻立纵波（声波）会在空气柱（例如管风琴管、管乐器）中形成。边界规则：

封闭端：空气无法移动，因此是位移波节
开口端：空气可以自由移动，因此是位移波腹

IB考试中有两种常见的空气柱系统：

1. 两端开口： 两端都是波腹。允许所有整数次谐波： $f_{n} = \frac{n v}{2 L}, n = 1, 2, 3...$
1. 一端闭一端开： 一个波节，一个波腹。仅允许奇次谐波： $f_{n} = \frac{n v}{4 L}, n = 1, 3, 5...$

📐 例题

一根长0.4 m的一端闭一端开的管子，基频为210 Hz，计算管中声速。

1
闭管的基频对应 $n = 1$ ，因此使用闭管公式：
2
$f_1 = \frac{1 \times v}{4 L}$
3
整理求解声速 $v$ ：
4
$v = 4 L f_1 = 4 \times 0.4 \times 210$
5
计算结果：
6
$v = 336 \text{ m/s}$

4. 驻波与行波的区别★★☆☆☆⏱ 3 min

性质	驻波	行波
净能量传递	无净传递	沿介质净传递
振幅	从0到最大值不等	所有点振幅恒定
相位	波节之间所有点同相	相位沿波连续变化
波长定义	相邻波节间距 = $λ /2$	相邻波峰间距 = $λ$

✓ 快速检测

测试你的理解：

以下哪个性质是驻波特有，而行波没有的？
- 所有点振动振幅相同
- 介质中无净能量传递
- 振动方向可以垂直于波传播方向
- 波速取决于介质
显示答案
1 —
正确！行波传递净能量，而驻波不传递。横振动不是驻波特有的性质。

5. 常见陷阱

错误做法:

将波节到波腹的距离记为 $λ /2$

原因:

只有相邻波节或相邻波腹间距才是 $λ /2$ ，波节到最近波腹的距离是它的一半

正确做法:

永远记住：波节到相邻波腹的距离 = $λ /4$

错误做法:

对闭管谐波使用所有整数 $n$

原因:

一端封闭的管子仅允许奇次谐波，因此偶数 $n$ 不能形成有效的驻波

正确做法:

对于一端封闭的管子，仅对奇次 $n$ 使用公式 $f_{n} = \frac{n v}{4 L}$

错误做法:

假设空气柱的开口端是波节

原因:

开口端允许空气自由移动，因此是波腹不是波节，弄错这点会让所有计算出错

正确做法:

记住规则：固定/封闭边界 = 波节，自由/开口边界 = 波腹

错误做法:

忘记驻波可以是纵波

原因:

大多数例子用弦上的横驻波，但空气柱中的声波驻波是纵波，这在考试中非常常见

正确做法:

要知道驻波可以在任何类型的波（横波或纵波）中形成

6. 速查表

系统	边界条件	频率公式	允许的谐波
两端固定弦	2个波节	$f_{n} = \frac{n v}{2 L}$	$n = 1, 2, 3...$
两端开口管	2个波腹	$f_{n} = \frac{n v}{2 L}$	$n = 1, 2, 3...$
一端封闭管	1个波节，1个波腹	$f_{n} = \frac{n v}{4 L}$	$n = 1, 3, 5...$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · Paper 1
固定弦上的波节间距
2023 · Paper 2
闭管中的谐波

下一步

驻波是叠加原理的核心应用，是乐器发声的基础，也是IB物理SL卷1和卷2中经常出现的共振问题的基础。掌握驻波的边界条件也能为你后续课程中更高级的波主题（如双缝干涉和衍射）打下基础。本主题也与后续单元考察的声波性质密切相关。