# 驻波

> IB 物理 SL · 第三单元：波的行为
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u3-standing-waves/

本小节讲解弦以及开/闭空气柱中驻波的形成、核心性质和频率计算，这是IB物理SL考试中非常常见的考点。

**先修:** [波的叠加原理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u3-superposition-interference/); [波速、频率和波长](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u3-wave-characteristics/)

## 学习目标

- 解释驻波如何通过叠加原理形成
- 区分驻波和行波
- 识别不同驻波系统中的波节和波腹
- 计算弦和空气柱的谐波频率

## 驻波的形成与核心性质

**驻波** — 当两列全同波沿同一介质向相反方向传播并干涉后形成的静止波形

*例:* 入射波与它在固定边界的反射波发生干涉

与行波不同，驻波不会在介质中传递净能量。相邻波节之间的所有点都同相振动，振幅从零（波节处）到最大值（波腹处）不等。

IB考试中的关键间距规则：

- 相邻波节或相邻波腹之间的距离：$\frac{\lambda}{2}$
- 波节到最近波腹的距离：$\frac{\lambda}{4}$

**例题:** 驻波上相邻波腹间距为20 cm，求原行波的波长是多少？

1. 记住相邻波腹间距为半个波长：
2. $$\frac{\lambda}{2} = 20 \text{ cm}$$
3. 整理求解总波长：
4. $$\lambda = 2 \times 20 = 40 \text{ cm}$$

> **考试提示:** 考试中如果要求画驻波，一定要清晰标注波节和波腹

## 两端固定弦上的驻波

当弦两端固定时，两端都不能移动，因此两端都必须是波节。这对允许存在的波长产生了约束：弦长$L$必须等于半波长的整数倍。

$$L = n \frac{\lambda_n}{2}, \quad n = 1, 2, 3, ...$$

利用波速方程$v = f\lambda$，我们可以整理得到n次谐波的频率：

$$f_n = \frac{n v}{2 L}$$

$n=1$是基频（一次谐波），$n=2$是二次谐波，依此类推。两端固定弦允许所有整数次谐波存在。

**例题:** 一根长1.5 m的两端固定弦，波速为300 m/s，计算二次谐波的频率。

1. 确定各参数值：$n=2$，$v=300$ m/s，$L=1.5$ m
2. 代入两端固定弦的频率公式：
3. $$f_2 = \frac{n v}{2 L} = \frac{2 \times 300}{2 \times 1.5}$$
4. 计算最终结果：
5. $$f_2 = \frac{600}{3} = 200 \text{ Hz}$$

## 开管和闭空气柱中的驻波

驻立纵波（声波）会在空气柱（例如管风琴管、管乐器）中形成。边界规则：

- 封闭端：空气无法移动，因此是位移**波节**
- 开口端：空气可以自由移动，因此是位移**波腹**

IB考试中有两种常见的空气柱系统：

- 1. **两端开口：** 两端都是波腹。允许所有整数次谐波：$f_n = \frac{n v}{2L}, \quad n=1,2,3...$
- 2. **一端闭一端开：** 一个波节，一个波腹。仅允许奇次谐波：$f_n = \frac{n v}{4L}, \quad n=1,3,5...$

**例题:** 一根长0.4 m的一端闭一端开的管子，基频为210 Hz，计算管中声速。

1. 闭管的基频对应$n=1$，因此使用闭管公式：
2. $$f_1 = \frac{1 \times v}{4 L}$$
3. 整理求解声速$v$：
4. $$v = 4 L f_1 = 4 \times 0.4 \times 210$$
5. 计算结果：
6. $$v = 336 \text{ m/s}$$

## 驻波与行波的区别

| 性质 | 驻波 | 行波 |
| --- | --- | --- |
| 净能量传递 | 无净传递 | 沿介质净传递 |
| 振幅 | 从0到最大值不等 | 所有点振幅恒定 |
| 相位 | 波节之间所有点同相 | 相位沿波连续变化 |
| 波长定义 | 相邻波节间距 = $\lambda/2$ | 相邻波峰间距 = $\lambda$ |

**概念自测**

测试你的理解：

1. 以下哪个性质是驻波特有，而行波没有的？

   - 所有点振动振幅相同
   - 介质中无净能量传递
   - 振动方向可以垂直于波传播方向
   - 波速取决于介质

   *答案:* 介质中无净能量传递

   *解析:* 正确！行波传递净能量，而驻波不传递。横振动不是驻波特有的性质。

## 常见错误

- **错误做法:** 将波节到波腹的距离记为$\lambda/2$
  - 原因: 只有相邻波节或相邻波腹间距才是$\lambda/2$，波节到最近波腹的距离是它的一半
  - 正确做法: 永远记住：波节到相邻波腹的距离 = $\lambda/4$
- **错误做法:** 对闭管谐波使用所有整数$n$
  - 原因: 一端封闭的管子仅允许奇次谐波，因此偶数$n$不能形成有效的驻波
  - 正确做法: 对于一端封闭的管子，仅对奇次$n$使用公式$f_n = \frac{n v}{4L}$
- **错误做法:** 假设空气柱的开口端是波节
  - 原因: 开口端允许空气自由移动，因此是波腹不是波节，弄错这点会让所有计算出错
  - 正确做法: 记住规则：固定/封闭边界 = 波节，自由/开口边界 = 波腹
- **错误做法:** 忘记驻波可以是纵波
  - 原因: 大多数例子用弦上的横驻波，但空气柱中的声波驻波是纵波，这在考试中非常常见
  - 正确做法: 要知道驻波可以在任何类型的波（横波或纵波）中形成

## 速查表

| 系统 | 边界条件 | 频率公式 | 允许的谐波 |
| --- | --- | --- | --- |
| 两端固定弦 | 2个波节 | $f_n = \frac{nv}{2L}$ | $n=1,2,3...$ |
| 两端开口管 | 2个波腹 | $f_n = \frac{nv}{2L}$ | $n=1,2,3...$ |
| 一端封闭管 | 1个波节，1个波腹 | $f_n = \frac{nv}{4L}$ | $n=1,3,5...$ |

## 下一步

驻波是叠加原理的核心应用，是乐器发声的基础，也是IB物理SL卷1和卷2中经常出现的共振问题的基础。掌握驻波的边界条件也能为你后续课程中更高级的波主题（如双缝干涉和衍射）打下基础。本主题也与后续单元考察的声波性质密切相关。

- [场](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u4-overview/)
- [引力场](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u4-gravitational-fields/)
- [电场](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u4-electric-fields/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u3-standing-waves/