简谐运动

IB 物理 SL· 第3单元：波动特性，主题1· 45 分钟阅读

1. 核心定义与简谐运动条件★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

简谐运动

SHM

满足核心关系 $a = - ω^{2} x$ 的周期性振动，其中 $a$ 是加速度， $x$ 是偏离平衡位置的位移， $ω$ 是恒定的角频率。

这个定义条件将简谐运动与其他周期性运动（如弹起的球）区分开。简谐运动的一个关键性质是等时性：周期与振幅无关，因此改变拉动振子的距离不会改变振动的快慢。

📐 例题

某振子的位移为 $x = 0.5 sin (3 t)$ ，证明该运动是简谐运动。

1
要证明是简谐运动，需验证运动满足 $a = - ω^{2} x$ ：
2
计算速度（位移对时间的一阶导数）：
3
$v = \frac{dx}{dt} = 1.5 \cos(3t)$
4
计算加速度（位移对时间的二阶导数）：
5
$a = \frac{d^2x}{dt^2} = -4.5 \sin(3t)$
6
将 $x = 0.5 sin (3 t) ⟹ sin (3 t) = 2 x$ 代入加速度表达式：
7
$a = -4.5 (2x) = -9x$
8
该式符合简谐运动条件，且 $ω^{2} = 9$ ，因此该运动是简谐运动。

2. 简谐运动的运动方程★★★☆☆⏱ 15 min

从核心条件 $a = - ω^{2} x$ 出发，我们可以得到依赖于初始条件的通用位移方程。角频率的定义始终为：

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

若 $t = 0$ 时 $x = A$ （最大位移）： $x = A cos (ω t)$
若 $t = 0$ 时 $x = 0$ （平衡位置）： $x = A sin (ω t)$
任意位移 $x$ 对应的速度： $v = \pm ω A^{2} - x^{2}$

📐 例题

某简谐振子振幅为2 cm，周期为 $4 π$ s。 $t = 0$ 时 $x = 2$ cm，求 $x = 1$ cm 时的速度。

1
首先计算角频率：
2
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0.5 \text{ rad s}^{-1}$
3
使用速度-位移关系：
4
$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
5
代入数值 $ω = 0.5$ ， $A = 2$ ， $x = 1$ ：
6
$v = \pm 0.5 \sqrt{2^2 - 1^2} = \pm 0.5\sqrt{3} \approx \pm 0.87 \text{ cm s}^{-1}$
7
若未指定方向，正负值均正确。

✓ 快速检测

测试你的理解：

当位移 $x = A$ （振幅）时，加速度是多少？
- $a = 0$
- $a = - ω^{2} A$
- $a = ω A^{2}$
- Cannot be determined
显示答案
1 —
当 $x = A$ 时，直接代入 $a = - ω^{2} x$ 可得最大加速度，方向与位移相反。

3. 无阻尼简谐运动中的能量★★☆☆☆⏱ 10 min

在无阻尼简谐运动中（没有因摩擦损失能量），总机械能守恒。能量在动能（ $E_{k}$ ）和势能（ $E_{p}$ ）之间不断转换：

在 $x = \pm A$ （最大位移）处： $E_{k} = 0$ ， $E_{p} = E_{total}$
在 $x = 0$ （平衡位置）处： $E_{p} = 0$ ， $E_{k} = E_{total}$

📘 定义

无阻尼简谐运动的总能量

总能量恒定，等于 $E_{total} = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$

📐 例题

一个0.2 kg的物体做简谐运动，振幅为0.1 m，角频率为4 rad s⁻¹，计算总能量。

1
简谐运动的最大速度为 $v_{max} = ω A$ ：
2
$v_{\text{max}} = 4 \times 0.1 = 0.4 \text{ m s}^{-1}$
3
总能量等于最大动能，因为平衡位置处势能为零：
4
$E_{\text{total}} = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 = 0.5 \times 0.2 \times 0.4^2 = 0.016 \text{ J}$

4. 常见简谐运动系统★★★☆☆⏱ 12 min

IB 物理 SL 常考两种标准简谐运动系统：弹簧振子系统和小角度单摆。它们的周期公式总结如下：

系统	周期公式	简谐运动条件
水平弹簧振子	$T = 2 π \frac{m}{k}$	弹簧遵循胡克定律
竖直弹簧振子	$T = 2 π \frac{m}{k}$	弹簧遵循胡克定律（重力仅改变平衡位置）
单摆	$T = 2 π \frac{l}{g}$	摆角 < 10°（小角度近似）

📐 例题

地球上某单摆周期为2 s（ $g = 9.8$ m s⁻²），计算摆长。

1
整理单摆周期公式求解 $l$ ：
2
$l = \frac{g T^2}{4 \pi^2}$
3
代入数值 $T = 2$ s， $g = 9.8$ m s⁻²：
4
$l = \frac{9.8 \times (2)^2}{4 \pi^2} = \frac{9.8}{\pi^2} \approx 1.0 \text{ m}$

5. 常见陷阱

错误做法:

遗漏 $a = - ω^{2} x$ 中的负号

原因:

负号是简谐运动定义的核心部分，说明加速度与位移方向相反。

正确做法:

表述简谐运动条件或书写加速度方程时，始终要包含负号。

错误做法:

认为简谐运动的周期与振幅有关

原因:

简谐运动的一个定义性质是等时性：对于符合条件的简谐运动系统，周期与振幅无关。

正确做法:

使用对应系统的周期公式，这类公式中从不将振幅作为变量。

错误做法:

认为竖直弹簧振子的周期和水平弹簧振子不同

原因:

重力仅改变平衡位置，不改变回复力或周期。

正确做法:

无论弹簧方向如何，所有弹簧振子系统都使用 $T = 2 π m / k$ 。

错误做法:

大位移情况下仍使用单摆周期公式

原因:

该公式仅适用于简谐运动，而简谐运动要求小角度近似（< 10°）。

正确做法:

要知道摆角大于10°时，单摆不满足简谐运动条件，该公式不成立。

错误做法:

在非零位移处将总能量误认为动能

原因:

总能量仅在平衡位置处等于最大动能，在其他位移处不等于。

正确做法:

计算任意非零位移处的势能，将其与动能相加得到总能量。

6. 速查表

概念	公式
简谐运动核心条件	$a = - ω^{2} x$
角频率	$ω = 2 π f = \frac{2 π}{T}$
位移（ $t = 0, x = A$ ）	$x = A cos (ω t)$
位移（ $t = 0, x = 0$ ）	$x = A sin (ω t)$
速度	$v = \pm ω A^{2} - x^{2}$
简谐运动总能量	$E_{total} = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}$
周期：弹簧振子	$T = 2 π \frac{m}{k}$
周期：单摆	$T = 2 π \frac{l}{g}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

简谐运动是IB物理SL所有振动和波动主题的基础概念。所有波动都可以建模为多个耦合简谐振子的集合，因此掌握简谐运动能让你更容易理解更高级的主题。接下来，你将在此基础上学习简谐运动系统损失能量或受外力驱动时的情况，进而得到重要的共振现象，这是Paper 1和Paper 2中常见的考题。你可以学习以下主题，继续构建波动特性的知识体系。