# 简谐运动

> IB 物理 SL · IB 物理 SL 2025
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u3-simple-harmonic-motion/

本模块介绍简谐运动（SHM）的核心定义、运动学方程、能量转换和常见实例，简谐运动是IB物理SL所有波动主题的基础概念。

**先修:** [基础运动学和能量守恒](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-mechanics-energy-conservation/); [圆周运动中的角量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-kinematics-circular-motion/)

## 学习目标

- 利用核心的加速度-位移关系定义简谐运动
- 使用简谐运动的运动学方程求解位移、速度和加速度
- 分析无阻尼简谐运动系统中的能量转换
- 计算常见简谐运动系统（弹簧振子、单摆）的周期

## 核心定义与简谐运动条件

**简谐运动** — 满足核心关系 $a = -\omega^2 x$ 的周期性振动，其中 $a$ 是加速度，$x$ 是偏离平衡位置的位移，$\omega$ 是恒定的角频率。

*记法:* SHM

这个定义条件将简谐运动与其他周期性运动（如弹起的球）区分开。简谐运动的一个关键性质是等时性：周期与振幅无关，因此改变拉动振子的距离不会改变振动的快慢。

**例题:** 某振子的位移为 $x = 0.5 \sin(3t)$，证明该运动是简谐运动。

1. 要证明是简谐运动，需验证运动满足 $a = -\omega^2 x$：
2. 计算速度（位移对时间的一阶导数）：
3. $$v = \frac{dx}{dt} = 1.5 \cos(3t)$$
4. 计算加速度（位移对时间的二阶导数）：
5. $$a = \frac{d^2x}{dt^2} = -4.5 \sin(3t)$$
6. 将 $x = 0.5 \sin(3t) \implies \sin(3t) = 2x$ 代入加速度表达式：
7. $$a = -4.5 (2x) = -9x$$
8. 该式符合简谐运动条件，且 $\omega^2 = 9$，因此该运动是简谐运动。

> **tip**
>
> 负号必不可少：它表示加速度始终指向平衡位置。阅卷官通常会对简谐运动答案中遗漏负号的情况扣分。

## 简谐运动的运动方程

从核心条件 $a = -\omega^2 x$ 出发，我们可以得到依赖于初始条件的通用位移方程。角频率的定义始终为：

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

- 若 $t=0$ 时 $x = A$（最大位移）：$x = A \cos(\omega t)$
- 若 $t=0$ 时 $x = 0$（平衡位置）：$x = A \sin(\omega t)$
- 任意位移 $x$ 对应的速度：$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$

**例题:** 某简谐振子振幅为2 cm，周期为 $4\pi$ s。$t=0$ 时 $x = 2$ cm，求 $x = 1$ cm 时的速度。

1. 首先计算角频率：
2. $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0.5 \text{ rad s}^{-1}$$
3. 使用速度-位移关系：
4. $$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$$
5. 代入数值 $\omega = 0.5$，$A = 2$，$x = 1$：
6. $$v = \pm 0.5 \sqrt{2^2 - 1^2} = \pm 0.5\sqrt{3} \approx \pm 0.87 \text{ cm s}^{-1}$$
7. 若未指定方向，正负值均正确。

**概念自测**

测试你的理解：

1. 当位移 $x = A$（振幅）时，加速度是多少？

   - $a = 0$
   - $a = -\omega^2 A$
   - $a = \omega A^2$
   - Cannot be determined

   *答案:* $a = -\omega^2 A$

   *解析:* 当 $x = A$ 时，直接代入 $a = -\omega^2 x$ 可得最大加速度，方向与位移相反。

## 无阻尼简谐运动中的能量

在无阻尼简谐运动中（没有因摩擦损失能量），总机械能守恒。能量在动能（$E_k$）和势能（$E_p$）之间不断转换：

- 在 $x = \pm A$（最大位移）处：$E_k = 0$，$E_p = E_{\text{total}}$
- 在 $x = 0$（平衡位置）处：$E_p = 0$，$E_k = E_{\text{total}}$

**无阻尼简谐运动的总能量** — 总能量恒定，等于 $E_{\text{total}} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = \frac{1}{2} k A^2$

**例题:** 一个0.2 kg的物体做简谐运动，振幅为0.1 m，角频率为4 rad s⁻¹，计算总能量。

1. 简谐运动的最大速度为 $v_{\text{max}} = \omega A$：
2. $$v_{\text{max}} = 4 \times 0.1 = 0.4 \text{ m s}^{-1}$$
3. 总能量等于最大动能，因为平衡位置处势能为零：
4. $$E_{\text{total}} = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 = 0.5 \times 0.2 \times 0.4^2 = 0.016 \text{ J}$$

## 常见简谐运动系统

IB 物理 SL 常考两种标准简谐运动系统：弹簧振子系统和小角度单摆。它们的周期公式总结如下：

| 系统 | 周期公式 | 简谐运动条件 |
| --- | --- | --- |
| 水平弹簧振子 | $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ | 弹簧遵循胡克定律 |
| 竖直弹簧振子 | $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ | 弹簧遵循胡克定律（重力仅改变平衡位置） |
| 单摆 | $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ | 摆角 < 10°（小角度近似） |

**例题:** 地球上某单摆周期为2 s（$g = 9.8$ m s⁻²），计算摆长。

1. 整理单摆周期公式求解 $l$：
2. $$l = \frac{g T^2}{4 \pi^2}$$
3. 代入数值 $T = 2$ s，$g = 9.8$ m s⁻²：
4. $$l = \frac{9.8 \times (2)^2}{4 \pi^2} = \frac{9.8}{\pi^2} \approx 1.0 \text{ m}$$

> **warning**
>
> 竖直弹簧振子的周期和水平弹簧振子相同！重力只改变平衡位置，不改变振动快慢。

## 常见错误

- **错误做法:** 遗漏 $a = -\omega^2 x$ 中的负号
  - 原因: 负号是简谐运动定义的核心部分，说明加速度与位移方向相反。
  - 正确做法: 表述简谐运动条件或书写加速度方程时，始终要包含负号。
- **错误做法:** 认为简谐运动的周期与振幅有关
  - 原因: 简谐运动的一个定义性质是等时性：对于符合条件的简谐运动系统，周期与振幅无关。
  - 正确做法: 使用对应系统的周期公式，这类公式中从不将振幅作为变量。
- **错误做法:** 认为竖直弹簧振子的周期和水平弹簧振子不同
  - 原因: 重力仅改变平衡位置，不改变回复力或周期。
  - 正确做法: 无论弹簧方向如何，所有弹簧振子系统都使用 $T = 2\pi \sqrt{m/k}$。
- **错误做法:** 大位移情况下仍使用单摆周期公式
  - 原因: 该公式仅适用于简谐运动，而简谐运动要求小角度近似（< 10°）。
  - 正确做法: 要知道摆角大于10°时，单摆不满足简谐运动条件，该公式不成立。
- **错误做法:** 在非零位移处将总能量误认为动能
  - 原因: 总能量仅在平衡位置处等于最大动能，在其他位移处不等于。
  - 正确做法: 计算任意非零位移处的势能，将其与动能相加得到总能量。

## 速查表

| 概念 | 公式 |
| --- | --- |
| 简谐运动核心条件 | $a = -\omega^2 x$ |
| 角频率 | $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ |
| 位移（$t=0, x=A$） | $x = A \cos(\omega t)$ |
| 位移（$t=0, x=0$） | $x = A \sin(\omega t)$ |
| 速度 | $v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ |
| 简谐运动总能量 | $E_{\text{total}} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ |
| 周期：弹簧振子 | $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ |
| 周期：单摆 | $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ |

## 下一步

简谐运动是IB物理SL所有振动和波动主题的基础概念。所有波动都可以建模为多个耦合简谐振子的集合，因此掌握简谐运动能让你更容易理解更高级的主题。接下来，你将在此基础上学习简谐运动系统损失能量或受外力驱动时的情况，进而得到重要的共振现象，这是Paper 1和Paper 2中常见的考题。你可以学习以下主题，继续构建波动特性的知识体系。

- [波的特性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u3-wave-characteristics/)
- [波的干涉](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u3-wave-interference/)
- [驻波](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u3-standing-waves/)

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