多普勒效应

物理 SL· Topic 9.5 (Wave Phenomena) - Doppler effect for sound and light· 12 分钟阅读

1. 多普勒效应的物理起源★★☆☆☆⏱ 3 min

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📘 定义

多普勒效应

波源与观测者沿连线方向存在相对运动时，观测到的波频率发生表观变化的现象。当波源与观测者相互靠近时，观测频率升高；当二者相互远离时，观测频率降低。

对于静止波源，波前向各个方向均匀扩散，间距等于固有波长。如果波源向观测者运动，每一个后续波前的发射位置都比前一个更靠近观测者，使运动方向上的波长被压缩。如果观测者向静止波源运动，即使波长保持不变，观测者遇到波前的速率也会高于静止状态。

📐 例题

一辆静止的消防车发出固有频率为1000 Hz的警笛声。一名行人以5 m/s的速度向警笛奔跑，另一名行人以5 m/s的速度远离警笛奔跑。对比两名行人观测到的频率。

1
步骤1：确认波源静止，因此波长保持不变，满足 $λ = v / f_{s}$
2
步骤2：向波源运动的观测者遇到波前的速率更快，因此观测频率高于1000 Hz
3
步骤3：远离波源运动的观测者遇到波前的速率更慢，因此观测频率低于1000 Hz
4
步骤4：两名行人的频移大小完全相等，仅频移方向不同。

2. 声波的多普勒频移公式★★★☆☆⏱ 4 min

✓ 计算器

🔬 推导

目标:

推导运动波源的多普勒公式

起点:

观测者静止，波源以速度 $v_{s}$ 向观测者运动，介质中声速为 $v$

1
$波源发射相邻两个波前的时间间隔为 $T_s = 1/f_s$$
2
$两次发射之间波源移动的距离为 $v_s T_s$$
3
$被压缩的观测波长为 $\lambda_o = \frac{v}{f_s} - v_s T_s = \frac{v - v_s}{f_s}$$
4
$观测频率为 $f_o = \frac{v}{\lambda_o} = f_s \frac{v}{v - v_s}$$

结果:

当波源向观测者运动时，分母小于 $v$ ，因此 $f_{o} > f_{s}$ ，符合物理预期。

f_o = f_s \frac{v + v_o}{v - v_s}

📐 例题

一辆汽车以30 m/s的速度向静止的听者行驶，鸣笛频率为250 Hz。空气中的声速为340 m/s，计算听者观测到的频率。

1
步骤1：确定已知量： $f_{s} = 250$ Hz， $v_{s} = 30$ m/s， $v_{o} = 0$ ， $v = 340$ m/s
2
步骤2：波源向观测者运动，因此分母取 $- v_{s}$ ，分子取 $+ 0$
3
$f_o = 250 \times \frac{340 + 0}{340 - 30} = 250 \times \frac{340}{310}$
4
$f_o \approx 274 \text{ Hz}$

✓ 快速检测

测试你对符号约定的理解：

如果观测者远离静止的声波波源运动， $v_{o}$ 的正确符号是什么？
- 正
- 负
- 零
- 等于 $v_{s}$
显示答案
Negative —
当观测者远离波源时，遇到波前的速率变慢，因此需要在分子的 $v$ 中减去 $v_{o}$ 。

3. 电磁波的多普勒效应★★★☆☆⏱ 3 min

✓ 计算器

对于光这类电磁波，不存在传播介质，因此多普勒频移仅由波源和观测者之间的相对径向速度 $v_{r}$ 决定。在IB SL阶段，你只需要掌握适用于 $v_{r} ≪ c$ （ $c$ 为真空中光速）的非相对论近似公式。

\frac{\Delta f}{f_s} \approx \frac{v_r}{c}, \quad \frac{\Delta \lambda}{\lambda_s} \approx \frac{v_r}{c}

📐 例题

一个遥远星系以1.2倍光速的速度远离地球，计算其500 nm可见光谱线的多普勒相对频移。

1
步骤1：确定 $v_{r} = 0.012 c$ ，波源远离，因此波长频移为正
2
$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_s} = \frac{v_r}{c} = 0.012$
3
$\Delta \lambda = 0.012 \times 500 = 6 \text{ nm}$

4. IB标准考试应用场景★★★★☆⏱ 2 min

✓ 计算器

雷达测速仪：利用反射微波的双重多普勒频移计算运动车辆的速度
医学超声成像：利用反射声波的多普勒频移测量血流速度
天文红移：通过偏移的谱线计算遥远恒星和星系的退行速度

5. 常见陷阱

错误做法:

波源向观测者运动时，颠倒 $v_{s}$ 的符号约定，在分母中使用 $v + v_{s}$

原因:

这会错误地增大分母，得到低于固有频率的观测频率，与波长被压缩的物理事实矛盾

正确做法:

始终遵守规则：波源向观测者运动时波长减小，因此分母中用 $v$ 减去 $v_{s}$

错误做法:

在光波问题中使用完整的声波多普勒公式

原因:

光不存在传播介质，因此波源和观测者的独立速度没有物理意义，会得到错误结果

正确做法:

SL阶段所有电磁波多普勒问题都使用 $Δ f / f = v_{r} / c$ 非相对论近似公式

错误做法:

忘记雷达测速仪会产生双重多普勒频移（波源到运动物体，再从运动物体到探测器）

原因:

这会得到仅为目标实际速度一半的计算结果

正确做法:

对于反射波问题，在 $Δ f / f$ 表达式中将相对速度乘以2

错误做法:

声称运动波源产生的多普勒频移是由波在介质中的速度变化导致的

原因:

静止介质中的波速是恒定的，与波源运动无关，这是一个常见的失分误区

正确做法:

解释频移来自相邻发射波前之间波长的压缩或拉伸

错误做法:

在声波问题中使用相对论多普勒频移公式

原因:

IB SL大纲明确要求仅使用声波的非相对论公式，不需要推导洛伦兹变换

正确做法:

所有考试计算严格使用IB提供的公式表中的表达式

6. 速查表

场景	IB官方认可公式	核心条件
观测者向静止声波波源运动	$f_{o} = f_{s} \frac{v + v _{o}}{v}$	波长不变，观测者遇到波前的速率更快
观测者远离静止声波波源运动	$f_{o} = f_{s} \frac{v - v _{o}}{v}$	波长不变，观测者遇到波前的速率更慢
波源向静止声波观测者运动	$f_{o} = f_{s} \frac{v}{v - v _{s}}$	运动方向上的波长被压缩
波源远离静止声波观测者运动	$f_{o} = f_{s} \frac{v}{v + v _{s}}$	运动方向上的波长被拉伸
非相对论电磁波多普勒频移	$\frac{Δ f}{f _{s}} = \frac{v _{r}}{c}$	仅在 $v_{r} ≪ c$ 时成立

7. 常见问题

多普勒效应适用于所有类型的波吗？

是的，它适用于所有波类型，包括声波、水波以及光这类电磁波。唯一的区别是电磁波不需要传播介质，因此仅由波源和观测者之间的相对速度决定频移。

为什么SL阶段声波和光的多普勒效应不使用同一个公式？

对于声波，相对于空气介质的运动会分别改变观测波长和波速。在IB SL阶段的非相对论光场景中，我们使用仅依赖视线方向相对速度的近似公式 $\frac{Δ f}{f} = \frac{v}{c}$ 。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Paper 2
声波多普勒频移计算
2022 · Paper 1
频移方向定性判断问题
2021 · Paper 2
雷达测速仪应用

下一步

掌握多普勒效应是你学习IB SL波动行为和天体物理主题的关键基础，这两部分合计占考试总分的约20%。你现在可以解决所有标准多普勒频移选择题和Paper 2计算题，正确解释物理机制拿到全部步骤分。这个概念可以直接延伸到宇宙学红移，它是天体物理选修部分中宇宙膨胀的核心证据之一。它还与波的干涉和驻波问题相关，波源的相对运动可以产生拍频。点击下方链接继续学习本单元的相关主题。

→波的叠加与干涉