# 多普勒效应

> 物理 SL · IB 文凭课程 物理 标准水平
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u3-doppler-effect/

本模块讲解声波和光的非相对论多普勒频移、IB标准公式、符号约定，以及分步考试解题流程。

**先修:** [一维运动学与相对运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u2-1d-kinematics/); [波动属性：频率、波长与波速](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u3-wave-properties/)

## 学习目标

- 定义声波与非相对论电磁波的多普勒效应
- 区分运动波源与运动观测者产生多普勒频移的不同物理机制
- 应用IB官方规定的符号约定求解多普勒频移定量问题
- 识别多普勒效应的标准考试应用场景，包括雷达与红移

## 多普勒效应的物理起源

**多普勒效应** — 波源与观测者沿连线方向存在相对运动时，观测到的波频率发生表观变化的现象。当波源与观测者相互靠近时，观测频率升高；当二者相互远离时，观测频率降低。

对于静止波源，波前向各个方向均匀扩散，间距等于固有波长。如果波源向观测者运动，每一个后续波前的发射位置都比前一个更靠近观测者，使运动方向上的波长被压缩。如果观测者向静止波源运动，即使波长保持不变，观测者遇到波前的速率也会高于静止状态。

> **tip**
>
> 你无需借助公式即可验证频移方向：如果波源与观测者的距离不断减小，则 $f_o > f_s$。如果距离不断增大，则 $f_o < f_s$。

**例题:** 一辆静止的消防车发出固有频率为1000 Hz的警笛声。一名行人以5 m/s的速度向警笛奔跑，另一名行人以5 m/s的速度远离警笛奔跑。对比两名行人观测到的频率。

1. 步骤1：确认波源静止，因此波长保持不变，满足 $\lambda = v / f_s$
2. 步骤2：向波源运动的观测者遇到波前的速率更快，因此观测频率高于1000 Hz
3. 步骤3：远离波源运动的观测者遇到波前的速率更慢，因此观测频率低于1000 Hz
4. 步骤4：两名行人的频移大小完全相等，仅频移方向不同。

*计算器:* forbidden

## 声波的多普勒频移公式

**推导:** 推导运动波源的多普勒公式

*起点:* 观测者静止，波源以速度 $v_s$ 向观测者运动，介质中声速为 $v$

1. $$波源发射相邻两个波前的时间间隔为 $T_s = 1/f_s$$$
2. $$两次发射之间波源移动的距离为 $v_s T_s$$$
3. $$被压缩的观测波长为 $\lambda_o = \frac{v}{f_s} - v_s T_s = \frac{v - v_s}{f_s}$$$
4. $$观测频率为 $f_o = \frac{v}{\lambda_o} = f_s \frac{v}{v - v_s}$$$

*结论:* 当波源向观测者运动时，分母小于 $v$，因此 $f_o > f_s$，符合物理预期。

$$f_o = f_s \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

> **mnemonic**
>
> 使用符号规则：观测者向波源运动时O+（$v_o$取正），波源向观测者运动时S-（$v_s$前取减号）。

**例题:** 一辆汽车以30 m/s的速度向静止的听者行驶，鸣笛频率为250 Hz。空气中的声速为340 m/s，计算听者观测到的频率。

1. 步骤1：确定已知量：$f_s = 250$ Hz，$v_s = 30$ m/s，$v_o = 0$，$v = 340$ m/s
2. 步骤2：波源向观测者运动，因此分母取 $-v_s$，分子取 $+0$
3. $$f_o = 250 \times \frac{340 + 0}{340 - 30} = 250 \times \frac{340}{310}$$
4. $$f_o \approx 274 \text{ Hz}$$

**概念自测**

测试你对符号约定的理解：

1. 如果观测者远离静止的声波波源运动，$v_o$ 的正确符号是什么？

   - 正
   - 负
   - 零
   - 等于 $v_s$

   *解析:* 当观测者远离波源时，遇到波前的速率变慢，因此需要在分子的 $v$ 中减去 $v_o$。

*计算器:* allowed

## 电磁波的多普勒效应

对于光这类电磁波，不存在传播介质，因此多普勒频移仅由波源和观测者之间的相对径向速度 $v_r$ 决定。在IB SL阶段，你只需要掌握适用于 $v_r \ll c$（$c$ 为真空中光速）的非相对论近似公式。

$$\frac{\Delta f}{f_s} \approx \frac{v_r}{c}, \quad \frac{\Delta \lambda}{\lambda_s} \approx \frac{v_r}{c}$$

> **info**
>
> 如果波源远离观测者运动，光的波长会向更长（更红）的方向偏移，称为红移。如果波源向观测者运动，光的波长会向更短（更蓝）的方向偏移，称为蓝移。

**例题:** 一个遥远星系以1.2倍光速的速度远离地球，计算其500 nm可见光谱线的多普勒相对频移。

1. 步骤1：确定 $v_r = 0.012 c$，波源远离，因此波长频移为正
2. $$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_s} = \frac{v_r}{c} = 0.012$$
3. $$\Delta \lambda = 0.012 \times 500 = 6 \text{ nm}$$

*计算器:* allowed

## IB标准考试应用场景

- 雷达测速仪：利用反射微波的双重多普勒频移计算运动车辆的速度
- 医学超声成像：利用反射声波的多普勒频移测量血流速度
- 天文红移：通过偏移的谱线计算遥远恒星和星系的退行速度

**考试命令词**

IB考试中多普勒效应相关题目会使用特定的命令词：

- **Explain the Doppler effect** — 你必须说明运动波源导致波长变化，或运动观测者导致波前相遇速率变化的物理机制 *(2分定义类题目)*

- **Calculate the Doppler shift** — 你需要根据题目要求使用完整的声波公式或电磁波近似公式进行计算

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 波源向观测者运动时，颠倒 $v_s$ 的符号约定，在分母中使用 $v + v_s$
  - 原因: 这会错误地增大分母，得到低于固有频率的观测频率，与波长被压缩的物理事实矛盾
  - 正确做法: 始终遵守规则：波源向观测者运动时波长减小，因此分母中用 $v$ 减去 $v_s$
- **错误做法:** 在光波问题中使用完整的声波多普勒公式
  - 原因: 光不存在传播介质，因此波源和观测者的独立速度没有物理意义，会得到错误结果
  - 正确做法: SL阶段所有电磁波多普勒问题都使用 $\Delta f / f = v_r / c$ 非相对论近似公式
- **错误做法:** 忘记雷达测速仪会产生双重多普勒频移（波源到运动物体，再从运动物体到探测器）
  - 原因: 这会得到仅为目标实际速度一半的计算结果
  - 正确做法: 对于反射波问题，在 $\Delta f / f$ 表达式中将相对速度乘以2
- **错误做法:** 声称运动波源产生的多普勒频移是由波在介质中的速度变化导致的
  - 原因: 静止介质中的波速是恒定的，与波源运动无关，这是一个常见的失分误区
  - 正确做法: 解释频移来自相邻发射波前之间波长的压缩或拉伸
- **错误做法:** 在声波问题中使用相对论多普勒频移公式
  - 原因: IB SL大纲明确要求仅使用声波的非相对论公式，不需要推导洛伦兹变换
  - 正确做法: 所有考试计算严格使用IB提供的公式表中的表达式

## 速查表

| 场景 | IB官方认可公式 | 核心条件 |
| --- | --- | --- |
| 观测者向静止声波波源运动 | $f_o = f_s \frac{v + v_o}{v}$ | 波长不变，观测者遇到波前的速率更快 |
| 观测者远离静止声波波源运动 | $f_o = f_s \frac{v - v_o}{v}$ | 波长不变，观测者遇到波前的速率更慢 |
| 波源向静止声波观测者运动 | $f_o = f_s \frac{v}{v - v_s}$ | 运动方向上的波长被压缩 |
| 波源远离静止声波观测者运动 | $f_o = f_s \frac{v}{v + v_s}$ | 运动方向上的波长被拉伸 |
| 非相对论电磁波多普勒频移 | $\frac{\Delta f}{f_s} = \frac{v_r}{c}$ | 仅在 $v_r \ll c$ 时成立 |

## 下一步

掌握多普勒效应是你学习IB SL波动行为和天体物理主题的关键基础，这两部分合计占考试总分的约20%。你现在可以解决所有标准多普勒频移选择题和Paper 2计算题，正确解释物理机制拿到全部步骤分。这个概念可以直接延伸到宇宙学红移，它是天体物理选修部分中宇宙膨胀的核心证据之一。它还与波的干涉和驻波问题相关，波源的相对运动可以产生拍频。点击下方链接继续学习本单元的相关主题。

- [波的叠加与干涉](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u3-wave-interference/)

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