# 电动势与内阻

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u2-electromotive-force-and-internal-resistance/

本指南涵盖电动势定义、实际电池的内阻、核心电路公式、V-I图像解读以及常见考试计算题型。

**先修:** [欧姆定律与串联电路规则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u2-ohms-law-series-circuits/); [电势差与电功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u2-potential-difference-power/)

## 学习目标

- 区分电动势（emf）与端电势差
- 推导电动势、内阻、负载电阻与端电压之间的关系
- 求解涉及实际电池内阻的定量问题
- 解读放电电池的V-I图像，从中提取电动势与内阻数值

## 电动势与内阻的核心定义

理想电压源的内阻为零，因此无论输出多大电流，其端电压都不会下降。所有实际的电池、蓄电池和发电机都存在一个很小但非零的内阻，当电流流过时会在电源内部产生电压降。

**电动势（emf）** — 电源内部非静电力对单位正电荷做的功，用于分离正负电荷，在电池开路端形成电势差。

*记法:* $\varepsilon$

*例:* 一节标准1.5 V的AA碱性电池在无电流输出时的电动势为1.5 V。

> **warning**
>
> 电动势不是力：它是一种电势差，单位为伏特，而非牛顿。这是非常常见的考试陷阱题。

**概念自测**

测试你对以下定义的理解：

1. 当电池处于开路状态（无电流流动）时，其端电压与电动势之间存在什么关系？

   - 端电压为零
   - 端电压等于电动势
   - 端电压小于电动势
   - 端电压大于电动势

   *解析:* 无电流流动，因此内阻上没有电压降，全部电动势都体现在电池两端。

## 电动势电路关系的推导

**推导:** 推导电动势、端电压、电流与内阻之间的关系

*起点:* 包含电动势为$\varepsilon$、内阻为$r$的电池，外接负载电阻$R$的完整回路的能量守恒定律

1. 电池提供的每单位电荷总能量等于回路中所有电阻上耗散的每单位电荷能量之和
2. $$\varepsilon = V_{\text{load}} + V_{\text{internal}}$$
3. 对内阻应用欧姆定律：内阻上的电压降为$V_{\text{internal}} = Ir$
4. 对外接负载应用欧姆定律：$V_{\text{load}} = IR = V$，即电池的端电压
5. $$\varepsilon = V + Ir$$

*结论:* 整理后得到端电压的标准公式：$V = \varepsilon - Ir$。随着从电池输出的电流$I$增大，端电压$V$线性下降。

**例题:** 一个电动势为12 V的电池内阻为0.5 Ω，将其连接到一个5.5 Ω的外接电阻上，计算电池两端的端电压。

1. 首先计算回路总电阻：$R_{\text{total}} = R + r = 5.5 + 0.5 = 6.0\ \Omega$
2. $$Calculate total current in the circuit using Ohm's Law: $I = \frac{\varepsilon}{R_{\text{total}}} = \frac{12}{6} = 2.0\ \text{A}$$$
3. 使用电动势公式求解端电压：$V = \varepsilon - Ir$
4. $$V = 12 - (2.0 \times 0.5) = 12 - 1 = 11\ \text{V}$$
5. 通过计算外接电阻上的电压验证：$V = IR = 2.0 \times 5.5 = 11\ \text{V}$，结果一致。

## 放电电池的V-I图像

当你测量不同输出电流$I$下电池的端电压$V$时，会得到一条斜率为负的直线图像，符合方程$V = -rI + \varepsilon$，与标准直线形式$y = mx + c$一致。

| 图像特征 | 物理量 |
| --- | --- |
| Y轴截距（I = 0处） | 电池的电动势$\varepsilon$ |
| 梯度（斜率绝对值） | 电池的内阻$r$ |
| X轴截距（V = 0处） | 电池的短路电流 |

**考试命令词**

IB考试题经常要求你描述从电池的V-I图像中可以得到哪些信息，注意以下指令提示：

- **Determine from the graph** — 你必须直接从绘制的直线上读取数值，无需根据给定数字计算

- **Show that the internal resistance is equal to the gradient** — 你需要整理$V = \varepsilon - Ir$使其匹配$y = mx + c$的形式，并说明梯度等于负的r

## 常见错误

- **错误做法:** 将正在输出电流的电池的电动势与端电压混淆
  - 原因: 学生经常在电流流动时直接将电动势值当作端电压，忽略了内阻上的电压降
  - 正确做法: 当电池不处于开路状态时，始终使用$V = \varepsilon - Ir$计算端电压
- **错误做法:** 忘记V-I图像的梯度为负，计算内阻时错误保留符号
  - 原因: 学生有时会算出内阻为负值，这在物理上是不可能的
  - 正确做法: 取负梯度的绝对值，得到正的内阻数值
- **错误做法:** 计算端电压时将内阻当作外接串联电阻处理
  - 原因: 这会导致内阻上的电压降被重复计算
  - 正确做法: 内阻位于电池内部，因此端电压仅等于外接负载两端的电压
- **错误做法:** 声称电动势是推动电荷绕回路运动的力
  - 原因: 电动势是电势差，单位为伏特，而非单位为牛顿的力，这是会丢分的定义错误
  - 正确做法: 将电动势定义为电源内部非静电力对单位电荷做的功
- **错误做法:** 将短路电流错误计算为$\varepsilon R$而非$\varepsilon / r$
  - 原因: 短路意味着外接负载电阻R=0，因此总电阻仅为r
  - 正确做法: 短路电流$I_{\text{sc}} = \varepsilon / r$，此时不存在外接电阻

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 单位 |
| --- | --- | --- |
| 电动势 | $\varepsilon = V + Ir$ | 伏特（V） |
| 端电压 | $V = \varepsilon - Ir$ | 伏特（V） |
| 内阻 | $r = \frac{\varepsilon - V}{I}$ | 欧姆（$\Omega$） |
| 短路电流 | $I_{\text{sc}} = \frac{\varepsilon}{r}$ | 安培（A） |
| 最大负载功率 | $P_{\text{max}} = \frac{\varepsilon^2}{4r}$ | 瓦特（W） |

## 下一步

你将经常结合这些概念求解出现在试卷2A部分和扩展问答题中的多回路电路问题。理解实际电池在负载下的行为也有助于你将理论与实验操作联系起来，你可以为你的IA设计相关探究实验，通过改变外接电阻并绘制V-I图像来测量内阻。该实验是IA中常见的考察内容，请确保你能清晰解释该实验的不确定度和误差来源。

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