# 功、能量与功率

> IB 物理 SL · IB 物理 2025 SL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-work-energy-and-power/

本子主题介绍了力、能量、运动和功率之间的核心关系，是IB物理SL所有力学主题的基础。你将学习如何计算做功、能量转化，以及物理系统的输出功率。

**先修:** [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-newtons-laws-of-motion/); [直线运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-kinematics-linear-motion/)

## 学习目标

- 定义恒力所做的功，并能计算不同力-位移夹角下的功
- 区分动能和重力势能
- 应用功能原理解答力学问题
- 计算物理系统的功率和效率

## 恒力所做的功

**功** — 功是力使物体发生位移时转移的能量。对于恒力，功等于力沿位移方向的分量与位移大小的乘积。

*记法:* W

$$W = F s \cos\theta$$

$\theta$ 是力矢量与位移矢量之间的夹角。如果 $\theta = 90^\circ$，$\cos\theta = 0$，因此即使有力作用，做功也为零。

> **info**
>
> 零功的一个常见例子是人水平提着重物行走：竖直向上的支持力与位移方向垂直，因此支持力对箱子不做功。

**例题:** 一个大小为50 N的力以与水平方向成30°角拉动水平地面上的箱子，箱子水平移动了4 m。计算该拉力做的功。

1. 确定已知量：$F = 50$ N，$s = 4$ m，$\theta = 30^\circ$
2. 代入功的公式：
3. $$W = 50 \times 4 \times \cos(30^\circ)$$
4. 计算最终结果：
5. $$W = 200 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 173 \text{ J}$$

## 动能与功能定理

**动能** — 动能是物体由于运动而具有的能量，它与物体的质量和速度的平方成正比。

*记法:* E_k

*例:* 一辆质量1000 kg、速度10 m/s的汽车具有50000 J的动能

$$E_k = \frac{1}{2} m v^2$$

**功能定理**将作用在物体上的合外力做功与物体动能的变化联系起来：

$$W_{net} = \Delta E_k = E_{k,\text{final}} - E_{k,\text{initial}}$$

**例题:** 一个质量0.5 kg、速度4 m/s的球在2 m的距离内被恒定摩擦力减速至静止，计算摩擦力的大小。

1. 计算初始动能：
2. $$E_{k,i} = \frac{1}{2} m v_i^2 = 0.5 \times 0.5 \times (4)^2 = 4 \text{ J}$$
3. 末动能为0，因此 $\Delta E_k = 0 - 4 = -4$ J。负号与摩擦力做负功对应。
4. 应用功能定理：合外力做功等于摩擦力做的功
5. $$-f s = \Delta E_k \implies -f (2) = -4 \implies f = 2 \text{ N}$$

## 重力势能

**重力势能的变化量** — 重力势能是物体在引力场中由于位置而储存的能量。在地球表面附近，我们只计算势能的变化量，而不计算绝对值。

*记法:* $\Delta E_p$

$$\Delta E_p = m g \Delta h$$

> **info**
>
> $\Delta h$ 是竖直高度的变化量，不是总移动距离。我们可以将任意位置设为零势能点，因为计算中只有变化量是有意义的。

**例题:** 一块质量2 kg的砖从地面被抬到1.5 m高的架子上，计算重力势能的变化量。取 $g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$。

1. 确定已知量：$m = 2$ kg，$\Delta h = 1.5$ m，$g = 9.8$ m s⁻²
2. 代入势能公式：
3. $$\Delta E_p = 2 \times 9.8 \times 1.5 = 29.4 \text{ J}$$
4. 正的变化量表示能量以重力势能的形式储存在砖块-地球系统中。

## 功率与效率

**功率** — 功率是做功或能量传递的速率。当力与速度平行时，功率可以表示为力与速度的乘积。

*记法:* P

$$P = \frac{W}{\Delta t} = F v$$

效率描述了总输入能量中有多少被转化为有用的输出能量，因为所有实际过程都会以热量的形式损耗部分能量。

$$\eta = \frac{P_{\text{useful out}}}{P_{\text{total in}}} \times 100\%$$

**例题:** 一辆质量1000 kg的汽车在10秒内从静止加速到20 m/s，发动机效率为25%，计算燃料提供的总输入功率。

1. 计算有用的动能输出：
2. $$E_{\text{useful}} = \frac{1}{2} m v^2 = 0.5 \times 1000 \times (20)^2 = 200 000 \text{ J}$$
3. 计算有用功率输出：
4. $$P_{\text{out}} = \frac{E_{\text{useful}}}{t} = \frac{200 000}{10} = 20 000 \text{ W} = 20 \text{ kW}$$
5. 整理效率公式，求解总输入功率：
6. $$P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} = \frac{20 000}{0.25} = 80 000 \text{ W} = 80 \text{ kW}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 斜向力做功时忽略角度 $\theta$，直接计算 $W = Fs$
  - 原因: 只有平行于位移的力分量对做功有贡献，垂直分量不做功
  - 正确做法: 当力与位移成角度时，始终乘以 $\cos\theta$，记住力垂直于位移时做功为零
- **错误做法:** 功能定理中使用单个力做的功代替合外力做的总功
  - 原因: 功能定理描述的是所有作用在物体上的力做的总功与动能变化的关系
  - 正确做法: 在等于 $\Delta E_k$ 之前，先将所有单个力做的功相加得到总功
- **错误做法:** 计算重力势能时使用绝对高度而不是高度变化量
  - 原因: 零势能点是任意参考点，只有高度变化量具有物理意义
  - 正确做法: 始终用末态和初态竖直高度的差值计算 $\Delta E_p$
- **错误做法:** 计算中直接使用百分比效率（例如用25代替0.25）
  - 原因: 效率是0到1之间的比值，百分比仅用于报告最终结果
  - 正确做法: 代入效率公式前，将百分比效率除以100

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 功（恒力） | $W = Fs\cos\theta$ | $\theta$ = 力F与位移s的夹角 |
| 动能 | $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ | 恒为非负值 |
| 功能定理 | $W_{net} = \Delta E_k$ | 总功 = 动能变化量 |
| 重力势能变化量 | $\Delta E_p = mg\Delta h$ | $\Delta h$ = 竖直高度变化 |
| 功率 | $P = \frac{W}{\Delta t} = Fv$ | $Fv$ 适用于F与v平行的情况 |
| 效率 | $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\%$ | 所有实际系统满足 $0 < \eta < 100\%$ |

## 下一步

功、能量与功率是基础概念，覆盖IB物理SL几乎所有主题。理解能量转化是热物理、圆周运动和电学的关键，能量传递是这些领域的核心主题。掌握本主题后，解决复杂力学问题会简单得多，因为能量方法通常不需要计算加速度。接下来，你将在此基础上学习机械能守恒，之后拓展到多物体系统的动量。

- [圆周运动与引力](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-circular-motion-and-gravitation/)
- [物质的粒子性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u2-overview/)
- [温度与热能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u2-temperature-and-thermal-energy/)

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