运动学

IB 物理 SL· 1.1 Measurements and uncertainties 1.2 Kinematics· 15 分钟阅读

1. 核心运动学物理量：标量 vs 矢量★☆☆☆☆⏱ 10 min

运动学是力学的分支，它在不考虑引起运动的力的情况下描述物体的运动。所有运动学物理量都属于以下两类之一：标量或矢量。

📘 定义

标量与矢量

标量只有大小（数值加单位），没有方向。矢量既有大小又有方向，两个属性才能完整描述该物理量。

例:

5 m/s是标量速率；5 m/s 向北是矢量速度

常见标量：路程、速率、质量、能量、时间
常见矢量：位移、速度、加速度、力、动量

📐 例题

一名跑者绕400米环形跑道跑了一整圈。请问：(a) 跑过的总路程是多少？(b) 跑者总位移的大小是多少？

1
回顾路程和位移的定义：路程是运动轨迹的总长度，位移是起点到终点的位置变化量。
2
对于问题(a)：一整圈覆盖了整个400米跑道，因此总路程为：
3
$d = 400 \text{ m}$
4
对于问题(b)：跑完一整圈后，跑者终点就是起点，因此末位置等于初位置：
5
$\Delta s = s_{\text{final}} - s_{\text{initial}} = 0 \text{ m}$
6
因此位移的大小为 0 m。

Exam tip:

考试题目经常在路程/位移、速率/速度之间切换，考察你能否区分这两个物理量。一定要仔细读题。

2. 平均量 vs 瞬时量★★☆☆☆⏱ 15 min

考试中一个常见的易错点是平均运动学量和瞬时运动学量的区别。平均量是在有限时间间隔内计算得到的，而瞬时量是在某一时刻测量得到的。

📘 定义

平均速度

\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}

某一时间间隔的平均速度等于总位移除以该间隔的总时间。平均速率等于总路程除以总时间。

例:

10秒内向东运动120米，平均速度为12 m/s 向东。

📐 例题

一辆汽车从A镇向北行驶100公里到B镇，用时2小时，随后立即返回A镇，又用时2小时。全程的平均速度是多少？

1
首先确定整个行程的总位移。汽车从A出发，最终回到A，因此：
2
$\Delta s = 0 \text{ km}$
3
整个行程的总时间为 \Delta t = 2 + 2 = 4 \text{ h}。
4
使用平均速度公式：
5
$\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0}{4} = 0 \text{ km/h}$
6
注意：本次行程的平均速率为 \frac{200 \text{ km}}{4 \text{ h}} = 50 \text{ km/h}，不等于平均速度。

3. 匀加速运动学方程★★☆☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

对于匀加速（加速度恒定）直线运动，我们可以推导出四个核心方程，它们关联五个运动学物理量：初始速度( $u$ )、末速度( $v$ )、加速度( $a$ )、位移( $s$ )和时间( $t$ )。

🔬 推导

目标:

从加速度的定义出发推导第一个运动学方程 $v = u + a t$

起点:

加速度定义为速度的变化率，在匀变速运动中加速度恒定

1
写出恒定加速度的定义：
2
$a = \frac{v - u}{t}$
3
两边同乘 $t$ ：
4
$at = v - u$
5
整理得到 $v$ 的表达式：

结果:

v = u + at

📐 例题

一个小球从距离地面20米高处由静止释放，重力加速度为 $g = 9.8 m/s^{2}$ 。计算小球落地前瞬间的速度，以及下落总时间。

1
规定向下为正方向，然后列出已知量：
2
初始速度 $u = 0$ （由静止释放），位移 $s = 20 m$ ，加速度 $a = 9.8 m/s^{2}$ 。
3
要求末速度 $v$ ，使用不需要时间 $t$ 的方程：
4
$v^2 = u^2 + 2as$
5
代入数值：
6
$v^2 = 0^2 + 2(9.8)(20) = 392$
7
取正根（因为速度方向向下，和我们规定的正方向一致）：
8
$v = \sqrt{392} \approx 19.8 \text{ m/s}$
9
要求时间 $t$ ，整理 $v = u + a t$ 得：
10
$t = \frac{v - u}{a} = \frac{19.8 - 0}{9.8} \approx 2.02 \text{ s}$

Exam tip:

开始计算前一定要先规定正方向，确认所有物理量的符号都符合该方向规定。

4. 常见陷阱

错误做法:

计算平均速度时用总路程代替总位移

原因:

平均速度只和位置的净变化有关，和运动轨迹的总长度无关

正确做法:

计算平均速度时，始终使用位移（末位置减初位置）

错误做法:

上抛运动中忘记给加速度标注正确符号

原因:

如果规定向上为正方向，重力加速度就是负数，不是正数

正确做法:

先规定正方向，再给所有物理量标注正确符号，然后再代入方程

错误做法:

加速度不恒定时仍然使用匀加速运动学方程

原因:

这四个运动学方程仅在加速度不变时成立

正确做法:

加速度变化时，使用v-t图的斜率/面积，不要使用匀加速运动学方程

错误做法:

求解 $v^{2} = u^{2} + 2 a s$ 时同时保留正负两个根

原因:

大多数题目只有一个物理解，另一个根不符合题意

正确做法:

舍去不符合题目情境的根（例如负速率、负时间）

5. 速查表

方程	使用场景
v = u + at	不需要/未给出位移 $s$
s = \frac{1}{2}(u+v)t	不需要/未给出加速度 $a$
s = ut + \frac{1}{2}at^2	不需要/未给出末速度 $v$
v^2 = u^2 + 2as	不需要/未给出时间 $t$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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自由落体运动学计算
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平均速度计算

下一步

运动学是IB物理SL所有力学主题的基础。掌握这里的核心物理量和方程是学习后续所有力学主题的前提。接下来你将学习如何用位移-时间图像和速度-时间图像分析运动，这类图像可以解决运动学方程无法处理的非匀加速问题。本主题也是抛体运动的基础，抛体运动需要将运动分解为独立的水平和竖直分量，之后的动力学也需要本主题的知识，将加速度和引起运动的力关联起来。