# 运动学

> IB 物理 SL · 第一单元：空间、时间与运动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-kinematics/

本子主题介绍描述物体直线运动的核心物理量，区分标量和矢量，并给出匀加速运动学方程，这是IB物理SL所有力学问题的基础。

**先修:** 基础代数与坐标几何; [第一单元 IB物理SL导论](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-introduction/)

## 学习目标

- 区分标量和矢量运动学物理量
- 计算路程、位移、速率、速度和加速度
- 应用匀加速运动学方程解决直线运动问题

## 核心运动学物理量：标量 vs 矢量

运动学是力学的分支，它在不考虑引起运动的力的情况下描述物体的运动。所有运动学物理量都属于以下两类之一：标量或矢量。

**标量与矢量** — 标量只有大小（数值加单位），没有方向。矢量既有大小又有方向，两个属性才能完整描述该物理量。

*例:* 5 m/s是标量速率；5 m/s 向北是矢量速度

- 常见标量：路程、速率、质量、能量、时间
- 常见矢量：位移、速度、加速度、力、动量

**例题:** 一名跑者绕400米环形跑道跑了一整圈。请问：(a) 跑过的总路程是多少？(b) 跑者总位移的大小是多少？

1. 回顾路程和位移的定义：路程是运动轨迹的总长度，位移是起点到终点的位置变化量。
2. 对于问题(a)：一整圈覆盖了整个400米跑道，因此总路程为：
3. $$d = 400 \text{ m}$$
4. 对于问题(b)：跑完一整圈后，跑者终点就是起点，因此末位置等于初位置：
5. $$\Delta s = s_{\text{final}} - s_{\text{initial}} = 0 \text{ m}$$
6. 因此位移的大小为 0 m。

> **考试提示:** 考试题目经常在路程/位移、速率/速度之间切换，考察你能否区分这两个物理量。一定要仔细读题。

## 平均量 vs 瞬时量

考试中一个常见的易错点是平均运动学量和瞬时运动学量的区别。平均量是在有限时间间隔内计算得到的，而瞬时量是在某一时刻测量得到的。

**平均速度** — 某一时间间隔的平均速度等于总位移除以该间隔的总时间。平均速率等于总路程除以总时间。

*记法:* \bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}

*例:* 10秒内向东运动120米，平均速度为12 m/s 向东。

**例题:** 一辆汽车从A镇向北行驶100公里到B镇，用时2小时，随后立即返回A镇，又用时2小时。全程的平均速度是多少？

1. 首先确定整个行程的总位移。汽车从A出发，最终回到A，因此：
2. $$\Delta s = 0 \text{ km}$$
3. 整个行程的总时间为 \Delta t = 2 + 2 = 4 \text{ h}。
4. 使用平均速度公式：
5. $$\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0}{4} = 0 \text{ km/h}$$
6. 注意：本次行程的平均速率为 \frac{200 \text{ km}}{4 \text{ h}} = 50 \text{ km/h}，不等于平均速度。

> **tip**
>
> 如果物体在时间间隔结束时回到起点，那么即使平均速率不为零，平均速度也始终为零。

## 匀加速运动学方程

对于匀加速（加速度恒定）直线运动，我们可以推导出四个核心方程，它们关联五个运动学物理量：初始速度($u$)、末速度($v$)、加速度($a$)、位移($s$)和时间($t$)。

**推导:** 从加速度的定义出发推导第一个运动学方程 $v = u + at$

*起点:* 加速度定义为速度的变化率，在匀变速运动中加速度恒定

1. 写出恒定加速度的定义：
2. $$a = \frac{v - u}{t}$$
3. 两边同乘 $t$：
4. $$at = v - u$$
5. 整理得到$v$的表达式：

*结论:* v = u + at

**例题:** 一个小球从距离地面20米高处由静止释放，重力加速度为 $g = 9.8 \text{ m/s}^2$。计算小球落地前瞬间的速度，以及下落总时间。

1. 规定向下为正方向，然后列出已知量：
2. 初始速度 $u = 0$（由静止释放），位移 $s = 20 \text{ m}$，加速度 $a = 9.8 \text{ m/s}^2$。
3. 要求末速度$v$，使用不需要时间$t$的方程：
4. $$v^2 = u^2 + 2as$$
5. 代入数值：
6. $$v^2 = 0^2 + 2(9.8)(20) = 392$$
7. 取正根（因为速度方向向下，和我们规定的正方向一致）：
8. $$v = \sqrt{392} \approx 19.8 \text{ m/s}$$
9. 要求时间$t$，整理 $v = u + at$ 得：
10. $$t = \frac{v - u}{a} = \frac{19.8 - 0}{9.8} \approx 2.02 \text{ s}$$

> **考试提示:** 开始计算前一定要先规定正方向，确认所有物理量的符号都符合该方向规定。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 计算平均速度时用总路程代替总位移
  - 原因: 平均速度只和位置的净变化有关，和运动轨迹的总长度无关
  - 正确做法: 计算平均速度时，始终使用位移（末位置减初位置）
- **错误做法:** 上抛运动中忘记给加速度标注正确符号
  - 原因: 如果规定向上为正方向，重力加速度就是负数，不是正数
  - 正确做法: 先规定正方向，再给所有物理量标注正确符号，然后再代入方程
- **错误做法:** 加速度不恒定时仍然使用匀加速运动学方程
  - 原因: 这四个运动学方程仅在加速度不变时成立
  - 正确做法: 加速度变化时，使用v-t图的斜率/面积，不要使用匀加速运动学方程
- **错误做法:** 求解 $v^2 = u^2 + 2as$ 时同时保留正负两个根
  - 原因: 大多数题目只有一个物理解，另一个根不符合题意
  - 正确做法: 舍去不符合题目情境的根（例如负速率、负时间）

## 速查表

| 方程 | 使用场景 |
| --- | --- |
| v = u + at | 不需要/未给出位移 $s$ |
| s = \frac{1}{2}(u+v)t | 不需要/未给出加速度 $a$ |
| s = ut + \frac{1}{2}at^2 | 不需要/未给出末速度 $v$ |
| v^2 = u^2 + 2as | 不需要/未给出时间 $t$ |

## 下一步

运动学是IB物理SL所有力学主题的基础。掌握这里的核心物理量和方程是学习后续所有力学主题的前提。接下来你将学习如何用位移-时间图像和速度-时间图像分析运动，这类图像可以解决运动学方程无法处理的非匀加速问题。本主题也是抛体运动的基础，抛体运动需要将运动分解为独立的水平和竖直分量，之后的动力学也需要本主题的知识，将加速度和引起运动的力关联起来。

- [力与动量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-forces-and-momentum/)
- [功、能量与功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-work-energy-and-power/)
- [圆周运动与引力](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-circular-motion-and-gravitation/)

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