# 圆周运动与引力

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-circular-motion-and-gravitation/

本子主题涵盖匀速圆周运动、向心加速度与向心力，以及牛顿万有引力定律在圆周轨道运动中的应用。你将学习解决IB考试中圆周运动和行星轨道的常见考题。

**先修:** [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-newtons-laws-of-motion/); [直线运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u1-kinematics/)

## 学习目标

- 从速度和加速度的角度描述匀速圆周运动
- 计算圆周运动的向心力和向心加速度
- 将牛顿引力定律应用于圆周轨道运动
- 解决卫星/行星轨道周期和速度的考题

## 匀速圆周运动与向心加速度

**匀速圆周运动** — 物体以恒定速率（速度大小恒定）沿圆周轨迹的运动

*例:* 汽车以恒定30 m/s在水平弯道转弯

尽管物体的速率恒定，但沿圆周运动时速度方向不断改变。这意味着物体存在非零加速度，且该加速度始终指向圆心，因此被称为向心（指向圆心的）加速度。

$$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$

其中 $v$ 是线速度，$r$ 是圆的半径，$\omega$ 是角速度，单位为弧度每秒。

**例题:** 一名儿童在旋转木马上，距离中心2.5 m，以0.4 rad s⁻¹的恒定角速度运动。计算他的向心加速度大小。

1. 确定已知量：
2. $$r = 2.5 \ \text{m}, \omega = 0.4 \ \text{rad s}^{-1}$$
3. 代入向心加速度公式：
4. $$a_c = \omega^2 r = (0.4)^2 \times 2.5 = 0.16 \times 2.5 = 0.4 \ \text{m s}^{-2}$$

> **考试提示:** 请始终记住：匀速圆周运动中，向心加速度的大小是恒定的，但方向不断变化，始终指向圆心。

## 向心力

**向心力** — 作用在物体上，维持物体做匀速圆周运动的合外力，方向始终指向圆心

*记法:* F_c

根据牛顿第二定律 ($F_{net} = ma$)，我们可以得到向心力的大小：

$$F_c = m a_c = \frac{mv^2}{r} = m \omega^2 r$$

> **warning**
>
> 向心力不是一种额外的独立力。它始终是张力、摩擦力、引力或支持力等现有力的合力。

**例题:** 一辆质量900 kg的汽车以12 m/s的恒定速率转弯，弯道是半径为45 m的水平圆弧。求不发生打滑所需的轮胎与路面之间的最小静摩擦系数。

1. 向心力完全由静摩擦力提供，因此 $F_f = F_c$：
2. $$\mu_s N = \frac{mv^2}{r}$$
3. 支持力等于汽车重力，因此 $N = mg$，两边质量可以消去：
4. $$\mu_s g = \frac{v^2}{r}$$
5. 整理得到$\mu_s$的表达式并代入数值 ($g = 9.81 \ \text{m s}^{-2}$)：
6. $$\mu_s = \frac{v^2}{rg} = \frac{12^2}{45 \times 9.81} \approx 0.33$$

## 牛顿万有引力定律

**牛顿万有引力定律** — 任意两个质点都相互吸引，引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们中心之间距离的平方成反比。

$$F = G \frac{M m}{r^2}$$

其中 $G = 6.67 \times 10^{-11} \ \text{N m}^2 \text{kg}^{-2}$ 是万有引力常数，$M$ 和 $m$ 是两个质点的质量，$r$ 是两质点中心之间的距离。对于均匀球体，该定律可以直接使用。

**例题:** 计算地球（质量 $5.97 \times 10^{24}$ kg）与站在地球表面、质量为70 kg的人之间的引力，已知地球半径为 $6.37 \times 10^6$ m。

1. 将所有数值代入引力公式：
2. $$F = \frac{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})(70)}{(6.37 \times 10^6)^2}$$
3. 分别计算分子和分母：
4. $$F \approx \frac{2.79 \times 10^{16}}{4.06 \times 10^{13}} \approx 687 \ \text{N}$$
5. 该结果与预期的体重 $mg = 70 \times 9.81 = 687$ N 一致，验证了计算的正确性。

## 引力与圆周轨道运动

当较小质量天体绕较大质量中心天体做稳定圆周运动时，引力恰好提供维持圆周运动所需的向心力。利用这个关系我们可以推导轨道的关键性质。

**推导:** 推导圆周轨道的开普勒第三定律

*起点:* 从引力与向心力相等出发

1. 1. 力相等： $G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$。环绕天体质量 $m$ 被消去：
2. $$v^2 = \frac{G M}{r}$$
3. 2. 轨道速度是 $v = \frac{2 \pi r}{T}$，代入方程：
4. $$\frac{4 \pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M}{r}$$
5. 3. 整理得到 $T$ 和 $r$ 的关系：

*结论:* $T^2 = \frac{4 \pi^2}{G M} r^3$ → 对于绕同一中心天体M的所有轨道，轨道周期的平方与轨道半径的立方成正比。

**例题:** 国际空间站在距离地球表面400 km高度绕地球运行。地球半径 = 6370 km，质量 = $5.97 \times 10^{24}$ kg。计算国际空间站的轨道周期，单位为分钟。

1. 1. 计算轨道半径（高度加地球半径）：
2. $$r = 6370 + 400 = 6770 \ \text{km} = 6.77 \times 10^6 \ \text{m}$$
3. 2. 代入开普勒第三定律：
4. $$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M} = \frac{4 \pi^2 (6.77 \times 10^6)^3}{(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})} \approx 3.07 \times 10^7$$
5. 3. 求解T并转换为分钟单位：
6. $$T = \sqrt{3.07 \times 10^7} \approx 5540 \ \text{s} = \frac{5540}{60} \approx 92 \ \text{minutes}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 在受力图中将向心力当成额外的独立力
  - 原因: 向心力是合外力，不是一种新的相互作用力。额外添加它会导致错误的力平衡。
  - 正确做法: 只画出实际存在的力（张力、摩擦力、引力），然后对指向圆心的力求和，令其等于 $\frac{mv^2}{r}$。
- **错误做法:** 在引力计算中使用高度而非轨道半径
  - 原因: 轨道半径是从中心天体的中心开始测量的，不是从表面。这个错误会导致结果出现很大误差。
  - 正确做法: 始终要将中心天体的半径与高度相加得到 $r$。
- **错误做法:** 认为向心加速度方向背离圆心向外
  - 原因: 与旋转参考系中的虚拟离心力混淆，IB物理不使用旋转参考系。
  - 正确做法: 对于惯性参考系（IB考试使用的标准参考系），向心加速度始终指向圆心。
- **错误做法:** 推导轨道速度时将 $M$ 和 $m$ 两个质量都消去
  - 原因: 学生经常不小心消去中心天体质量 $M$，导致公式错误。
  - 正确做法: 只有环绕天体质量 $m$ 会被消去，中心天体质量 $M$ 始终保留在最终公式中。
- **错误做法:** 引力使用反比关系 $F \propto \frac{1}{r}$ 而非平方反比关系
  - 原因: 简单的记忆错误，会导致所有结果出错。
  - 正确做法: 记住引力遵循平方反比定律： $F \propto \frac{1}{r^2}$。

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 向心加速度 | $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$ | 方向指向圆心 |
| 向心力 | $F_c = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r$ | 是合外力，不是额外力 |
| 牛顿引力定律 | $F = G\frac{Mm}{r^2}$ | $r$ = 两中心之间的距离 |
| 轨道周期（圆周） | $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$ | $M$ = 中心天体质量 |
| 轨道速度 | $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ | 与环绕天体质量 $m$ 无关 |

## 下一步

圆周运动与引力是经典力学的核心基础，支撑了从转动到天体物理的多个主题。掌握本子主题对考试成功至关重要，因为它在IB物理SL的选择题和扩展回答题中都频繁出现。理解引力如何为稳定轨道提供向心力是所有天体物理计算的基础，你将在IB天体物理选修模块中进一步学习。圆周运动的原理也可以拓展到HL主题如转动动力学中，你会将这些概念推广到刚体转动。接下来，你将在这些力学概念的基础上，研究运动系统中的能量变化和功。

- [物质的粒子性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u2-overview/)
- [温度与热能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u2-temperature-and-thermal-energy/)
- [气体](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-sl-u2-gases/)

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