力学 (Mechanics) — IB Physics SL 学习指南

适合谁：IB Physics SL 参加 IB Physics SL — Topic 2 (Mechanics) 的考生。

覆盖内容：一维运动学、抛体运动、牛顿三大定律、静动摩擦与张力、线动量与守恒、冲量与力时图像、功与动能定理、功率效率与能量转移全部核心考点。

前置知识：基本代数、向量（箭头表示）、受力分析图。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 IB Physics SL 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 IBO 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 IBO 官方 mark scheme。

1. 什么是力学（Mechanics）？

力学是研究物体运动规律、受力作用与能量转化的物理学核心分支，IB Physics SL的Topic 2力学属于2024考纲Theme A「时空与运动」的核心内容，占Paper1、Paper2总分值的15%-20%，是后续热学、波动、电磁学等所有模块的基础。本章节的考点既会单独出选择题，也常和其他模块结合出分值6-10分的大题，是必须熟练掌握的核心内容。

2. 一维运动学（Kinematics in 1D）：位移、速度、加速度

首先明确三个核心矢量的定义：

• 位移（displacement）：物体位置的变化量，记为$s=x_2-x_1$，是矢量，和标量属性的路程（distance）不同，位移仅和初末位置有关，和运动路径无关。
• 速度（velocity）：位移对时间的变化率，平均速度$\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$，瞬时速度为微分形式$v=\frac{ds}{dt}$，同样是矢量；标量属性的速率（speed）是路程除以时间，和速度无直接对应关系。
• 加速度（acceleration）：速度对时间的变化率，$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$，方向和速度变化量一致，和速度本身方向无关。

匀加速运动的SUVAT公式是本小节核心：$v=u+at$、$s=ut+\frac{1}{2}a{t}^2$、$v^2=u^2+2as$，其中$u$为初速度，$v$为末速度。 范例：汽车从静止开始以$2m/s^2$匀加速行驶5s，位移为$s=0+\frac{1}{2}\times 2\times 5^2=25m$。

3. 抛体运动（Projectile Motion）：水平与竖直分量独立

抛体运动的核心解题思路是将初速度分解为水平、竖直两个独立分量，二者互不干扰：

• 水平方向：忽略空气阻力时不受力，做匀速直线运动，$v_x=v_0\cos \theta$，水平位移$x=v_x\cdot t$，$\theta$为初速度仰角。
• 竖直方向：仅受重力，加速度为向下的$g=9.8m/s^2$，做匀变速运动，$v_y=v_0\sin \theta -gt$，竖直位移$y=v_0\sin \theta \cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2$。 范例：以$10m/s$、仰角$30^{\circ }$抛出小球，竖直初速度为$5m/s$，上升到最高点时间为$0.5s$，总飞行时间$1s$，水平位移为$10\times \cos 30^{\circ }\times 1\approx 8.66m$。

4. 牛顿三大定律（Newton's three laws）：力、质量、作用反作用

• 第一定律（惯性定律）：不受合外力的物体保持静止或匀速直线运动状态，质量（mass）是物体惯性的唯一量度，质量越大惯性越大。
• 第二定律：合外力等于物体动量的变化率，即$F_{net}=\frac{\Delta p}{\Delta t}$，质量不变时简化为$F_{net}=ma$，加速度方向始终和合外力方向一致。
• 第三定律：两个物体之间的作用力与反作用力大小相等、方向相反，作用在同一条直线上，且分别作用在两个不同物体上，注意和作用在同一物体上的平衡力区分。 范例：放在桌面上的书，重力和桌面对书的支持力是平衡力；书对桌面的压力和桌面对书的支持力是作用反作用力。

5. 静/动摩擦（Friction）与张力（Tension）

• 静摩擦（static friction）：两个相对静止的接触物体之间阻碍相对运动趋势的力，大小随外力变化，最大值为$f_{s,max}={\mu }_{s}N$，其中${\mu }_s$为静摩擦系数，$N$为接触面的法向力，因此静摩擦满足$f_s\le {\mu }_{s}N$。
• 动摩擦（kinetic friction）：两个相对滑动的接触物体之间的摩擦力，大小为$f_k={\mu }_{k}N$，${\mu }_k$为动摩擦系数，通常${\mu }_k<{\mu }_s$，且动摩擦大小和相对滑动速度无关。
• 张力（tension）：轻绳、轻杆等柔性/刚性连接件传递的拉力，理想轻绳的张力处处相等，方向沿绳指向绳收缩的方向。 范例：质量$2kg$的木块放在水平桌面，${\mu }_s=0.3$，拉动它至少需要的水平力为$F=0.3\times 2\times 9.8\approx 5.88N$。

6. 线动量（Linear Momentum）：$p=mv$与守恒

线动量（linear momentum）定义为$p=mv$，是和速度同方向的矢量，单位为$kg\cdot m/s$。 动量守恒定律：当一个系统不受合外力，或合外力为0时，系统的总动量保持不变。碰撞、爆炸等过程中，内力远大于外力，也可以近似使用动量守恒。 范例：质量$2kg$的小球以$3m/s$的速度撞向静止的$1kg$小球，碰撞后$2kg$小球速度变为$1m/s$同向，由动量守恒$2\times 3+1\times 0=2\times 1+1\times v$，解得$1kg$小球的速度为$4m/s$。

7. 冲量（Impulse）与力-时间图像

冲量（impulse）定义为$J=F_{avg}\cdot \Delta t$，是矢量，方向和力的方向一致。冲量等于物体动量的变化量，即动量定理$J=\Delta p$。 力-时间图像中，图像和时间轴围成的面积就是这段时间内力的冲量，时间轴上方的面积为正冲量，下方为负冲量。 范例：质量$1kg$的物体受到随时间变化的力$F=2t$（单位：N），0到2s内的冲量为${\int }_0^{2}2tdt=4N\cdot s$，对应的物体速度变化为$4m/s$。

8. 功（Work）、动能（Kinetic Energy）与动能定理

• 功（work）：力对空间的累积效应，定义为$W=Fs\cos \theta$，$\theta$为力和位移的夹角，是标量，可正可负，单位为焦耳J。当$\theta <90^{\circ }$力做正功，$\theta >90^{\circ }$做负功，$\theta =90^{\circ }$不做功。
• 动能（kinetic energy）：物体因运动具有的能量，$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$，是恒为正的标量。
• 动能定理：合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量，即$W_{net}=\Delta E_k$，无需考虑运动过程，仅通过初末状态即可计算，是非常高效的解题工具。 范例：$10N$的力与水平方向成$30^{\circ }$拉$2kg$的物体移动$3m$，做功为$10\times 3\times \cos 30^{\circ }\approx 25.98J$，若物体初始静止，末动能为$25.98J$，末速度约为$5.1m/s$。

9. 功率（Power）、效率（Efficiency）与能量转移

• 功率（power）：单位时间内做的功，是描述做功快慢的物理量，平均功率$\bar{P}=\frac{W}{\Delta t}$，瞬时功率$P=Fv\cos \theta$，单位为瓦特W。
• 效率（efficiency）：有用能量输出和总能量输入的比值，$\eta =\frac{E_{有用}}{E_{总}}\times 100\%$，由于能量耗散，效率永远小于1。 范例：电动机输入功率为$100W$，效率为$80\%$，则输出功率为$80W$，若用它匀速拉物体，拉力为$10N$，最大速度为$v=\frac{P}{F}=8m/s$。

10. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：用路程代替位移计算速度。原因：混淆矢量和标量的定义，忘记速度是位移的变化率。正确：先确定初末位置的位移矢量，再计算速度，路程除以时间得到的是速率。
2. 错误：认为抛体运动水平方向存在加速度。原因：忽略空气阻力的默认前提，误以为初速度会带来加速度。正确：水平方向不受力，始终匀速，仅竖直方向有重力加速度。
3. 错误：将作用力反作用力当成平衡力。原因：只看大小方向，忽略受力物体的区别。正确：平衡力作用在同一个物体上，作用反作用力分别作用在两个相互作用的物体上，不能抵消。
4. 错误：直接用$f_s={\mu }_{s}N$计算所有静摩擦。原因：忘记该公式仅适用于最大静摩擦。正确：未达到滑动临界状态时，静摩擦大小等于和它平衡的外力大小，小于等于${\mu }_{s}N$。
5. 错误：任意场景直接套用动量守恒。原因：忽略动量守恒的前提是系统合外力为0。正确：先确定分析的系统，确认合外力为0或内力远大于外力（如碰撞、爆炸）时，才能使用动量守恒。

11. 练习题 (IB physics-sl 风格)

题1

题干：一辆汽车从静止开始以$3m/s^2$的加速度匀加速行驶4s，之后匀速行驶10s，最后以$6m/s^2$的加速度刹车直到静止，求总位移。 解答：分三段计算：

1. 匀加速段：$s_1=\frac{1}{2}{a}_1{t}_1^2=0.5\times 3\times 4^2=24m$，末速度$v=a_1{t}_1=12m/s$
2. 匀速段：$s_2=v\times t_2=12\times 10=120m$
3. 匀减速段：由$0=v^2-2a_2{s}_3$，得$s_3=\frac{12^2}{2\times 6}=12m$ 总位移：$s_{总}=24+120+12=156m$

题2

题干：质量0.1kg的小球以$10m/s$的水平速度撞向墙面，反弹速度大小为$8m/s$，碰撞时间为0.02s，求墙对小球的平均作用力。 解答：取初速度方向为正方向，动量变化量$\Delta p=m(v_2-v_1)=0.1\times (-8)-0.1\times 10=-1.8kg\cdot m/s$ 由动量定理$F\Delta t=\Delta p$，得平均作用力$F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{-1.8}{0.02}=-90N$，负号表示力的方向与初速度方向相反，大小为90N。

题3

题干：倾角30°的斜面长5m，质量2kg的木块从顶端由静止滑下，动摩擦系数${\mu }_k=0.2$，求木块滑到斜面底端的速度。 解答：法向力$N=mg\cos 30°=2\times 9.8\times \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 16.97N$，动摩擦$f_k={\mu }_{k}N\approx 3.39N$ 合外力沿斜面向下，大小$F_{net}=mg\sin 30°-f_k=9.8-3.39=6.41N$ 由动能定理$W_{net}=\Delta E_k$，即$F_{net}\times s=\frac{1}{2}m{v}^2$，代入得$6.41\times 5=0.5\times 2\times v^2$，解得$v\approx 5.66m/s$。

12. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

13. 接下来怎么学

本章节是IB物理SL的核心基础，后续Topic3热学的气体分子运动、Topic4波动的质点振动、Topic5电磁学的带电粒子受力运动等知识点，都需要用到本章的受力分析、能量动量计算技能，熟练掌握本章内容可以大幅降低后续模块的学习难度。 如果你在刷题过程中遇到任何考点理解、解题步骤的疑问，随时可以到小欧提问，我们会提供针对性的讲解和练习指导。