# E.3 量子物理学：光子与物质波

> IB 物理 HL · 主题 E：核物理与量子物理
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u5-e-3-quantum-physics-photons/

本小节介绍核心量子概念：光的粒子性（光子）、物质的波动性以及波粒二象性。你将学习关键关系式，并将其应用于IB考试的常见问题。

**先修:** [电磁辐射的基本波动性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-wave-behaviour-fundamentals/); [经典动量与动能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-mechanics-momentum/)

## 学习目标

- 描述电磁辐射作为离散光子的粒子性
- 应用德布罗意关系计算运动粒子的物质波波长
- 总结光和物质都具有波粒二象性的实验证据
- 解决IB考试中涉及光子能量和物质波的常见问题

## 光子：光的粒子性

**光子** — 电磁辐射的离散量子，静质量为零，在真空中以速度$c$传播。光子只能以整数形式被发射和吸收，能量与频率成正比。

*记法:* E = hf

*例:* 可见光光子的能量约为2 eV，而X射线光子的能量大于100 eV。

光子模型是为了解释经典光波动模型无法解释的现象而发展出来的，最著名的就是光电效应。描述光子能量的两个关键关系式是：

$$E = hf = \frac{hc}{\lambda}$$

> **tip**
>
> 在IB考试中，记住$hc \approx 1240 \text{ eV·nm}$，当波长以纳米为单位给出时，你可以无需单位换算快速计算出以电子伏特为单位的光子能量。

**例题:** 计算波长为450 nm的蓝色光子的能量，单位为电子伏特。

1. 使用计算电子伏特能量的简化关系式：
2. $$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \text{ eV·nm}}{450 \text{ nm}}$$
3. 计算结果：$E \approx 2.76$ eV。用焦耳单位验证如下：
4. $$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \text{ Js})(3 \times 10^8 \text{ m/s})}{450 \times 10^{-9} \text{ m}} = 4.42 \times 10^{-19} \text{ J}$$
5. 除以$1.6 \times 10^{-19} \text{ J/eV}$转换为电子伏特，得到约2.76 eV，与快速计算结果一致。

> **考试提示:** 务必检查题目要求能量的单位是焦耳还是电子伏特，并正确转换单位。

## 德布罗意假说与物质波

**德布罗意波长** — 与任何运动有质量粒子关联的物质波波长，对于非相对论速度，粒子动量$p=mv$。

*记法:* \lambda = \frac{h}{p}

*例:* 经过100 V电压加速的电子，德布罗意波长约为0.1 nm，与晶体中的原子间距相当。

路易·德布罗意提出，正如光同时表现出波动和粒子性质，所有有质量粒子也具有波动特性。这一假说被戴维森-革末实验证实，该实验观察到电子在镍晶体晶格上的衍射现象。

> **tip**
>
> 对于经过电势差$V$加速的带电粒子，动能$KE = eV = \frac{p^2}{2m}$，因此动量$p = \sqrt{2meV}$。这是IB考题中常见的解题出发点。

**例题:** 计算速度为$1.0 \times 10^6 \text{ m/s}$的电子的德布罗意波长，已知$m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$。

1. 首先计算动量$p$：
2. $$p = m v = (9.11 \times 10^{-31} \text{ kg})(1.0 \times 10^6 \text{ m/s}) = 9.11 \times 10^{-25} \text{ kg·m/s}$$
3. 代入德布罗意关系式：
4. $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}}{9.11 \times 10^{-25} \text{ kg·m/s}} \approx 7.3 \times 10^{-10} \text{ m} = 0.73 \text{ nm}$$
5. 该波长与固体中的原子间距相近，解释了电子为何能在晶体晶格中发生衍射，证明了它们的波动性。

## 波粒二象性

波粒二象性是核心量子概念：所有实体（光和物质）都同时具有波动和粒子性质。任何单个实验都无法同时观测到两种行为；观测到的行为取决于测量类型。下表总结了实验证据：

| 实体 | 粒子性的证据 | 波动性的证据 |
| --- | --- | --- |
| 光 | 光电效应、康普顿散射 | 干涉、衍射 |
| 物质 | 定域探测、动量传递 | 电子衍射、中子干涉 |

**例题:** 解释为什么宏观物体（例如一个以10 m/s运动的0.1 kg小球）的波动性从未被观测到。

1. 首先计算小球的动量：
2. $$p = mv = (0.1 \text{ kg})(10 \text{ m/s}) = 1 \text{ kg·m/s}$$
3. 计算德布罗意波长：
4. $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}}{1 \text{ kg·m/s}} = 6.63 \times 10^{-34} \text{ m}$$
5. 该波长比任何能产生可观测衍射效应的孔或缝隙都小许多个数量级，因此宏观物体的波动行为无法被探测到。

## 考试表述与概念检查

**考试命令词**

- **Explain wave-particle duality** — 你必须说明所有量子实体都同时具有波动和粒子性质，并且分别为光和物质各给出一条证据才能得满分。 *(5分题要求每种性质给出2条证据。)*

- **Calculate the de Broglie wavelength** — 必须从$\lambda = h/p$出发，先展示动量的计算过程，然后给出带有正确单位的最终答案。

- **Show that** — 你必须展示所有中间计算步骤，得到题目给出的近似结果。

**概念自测**

测试你对核心概念的理解：

1. 光子从空气进入玻璃时，哪个性质不会改变？

   - A) 波长
   - B) 频率
   - C) 速度
   - D) 能量

   *解析:* 频率（以及由此得到的能量$E=hf$）是光子的固有性质。光从空气进入玻璃时，速度和波长都会减小。

2. 动量为$2.0 \times 10^{-22} \text{ kg·m/s}$的质子，德布罗意波长是多少？

   - A) $3.3 \times 10^{-12} \text{ m}$
   - B) $3.3 \times 10^{-9} \text{ m}$
   - C) $1.3 \times 10^{-11} \text{ m}$
   - D) $3.0 \times 10^{11} \text{ m}$

   *解析:* $\lambda = h/p = 6.63 \times 10^{-34} / 2.0 \times 10^{-22} \approx 3.3 \times 10^{-12} \text{ m}$

## 常见错误

- **错误做法:** 在国际单位制计算中，忘记将波长从纳米转换为米
  - 原因: IB考题通常以纳米给出波长，如果忘记转换，答案会比正确值大9个数量级
  - 正确做法: 计算以焦耳为单位的能量时，务必将纳米为单位的波长乘以$10^{-9}$转换为米
- **错误做法:** 在德布罗意关系式中用质量代替动量
  - 原因: 波长取决于动量，不只是质量；两个质量相同但速度不同的粒子，波长不同
  - 正确做法: 代入$\lambda = h/p$之前，务必先计算动量$p=mv$
- **错误做法:** 声称光有时是波有时是粒子
  - 原因: 波粒二象性意味着光始终同时具有两种性质，在给定实验中只能观测到其中一种
  - 正确做法: 应表述为：所有量子实体固有地同时表现出波动和粒子性质，取决于测量，只有一种行为会表现出来
- **错误做法:** 用$E = hc/\lambda$计算物质波的动能
  - 原因: 该关系式仅适用于无质量的光子，不适用于有动能的有质量粒子
  - 正确做法: 对物质仅使用$\lambda = h/p$；对于非相对论速度，通过动量计算动能使用$KE = p^2/(2m)$
- **错误做法:** 忘记光子能量取决于频率，而非强度
  - 原因: 强度是单位面积的光子数，不是单个光子的能量
  - 正确做法: 记住单个光子的能量仅取决于其频率，因此增加强度不会改变单个光子的能量

## 速查表

| 概念 | 关键关系式 | 考试实用提示 |
| --- | --- | --- |
| 光子能量 | $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ | $hc = 1240 \text{ eV·nm}$ 用于快速计算电子伏特能量 |
| 德布罗意波长 | $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ | p = 动量，$v << c$ 时为非相对论 |
| 加速带电粒子 | $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ | 适用于电荷为$e$、经过电势差$V$加速的粒子 |
| 波粒二象性证据 |  | 粒子性：光电效应、康普顿散射 \| 波动性：干涉、衍射 |

## 下一步

本小节为IB物理HL中所有后续量子物理主题奠定了核心量子概念基础。光子模型是理解光电效应的核心，光电效应将在下一小节讨论。物质波概念是海森堡不确定性原理、量子隧穿和原子量子模型的基础，这些内容都会在IB HL考试中考察。波粒二象性也解释了电子显微镜、激光等现代技术的工作原理，这些内容经常出现在考试的情境题中。

- [E.4 原子核原子](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u5-e-4-the-nuclear-atom/)
- [E.6 核裂变与核聚变（AHL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u5-e-6-fission-and-fusion/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u5-e-3-quantum-physics-photons/