学习指南

D.3 电磁场中的运动

IB 物理 HL· D.3 电磁场中的运动· 20 分钟阅读

1. 运动电荷受到的洛伦兹力★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

洛伦兹力

F⃗=q(E⃗+v⃗×B⃗)\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})

带电粒子在电场和磁场中运动时受到的总电磁力。仅存在磁场时，，其中是速度和磁感应强度之间的夹角。

例:

一个质子以 m/s的速度垂直进入0.5 T的磁场，受到的磁力大小为 N。

磁力的方向始终同时垂直于电荷的速度方向和磁场方向，使用右手定则判断正电荷的受力方向。负电荷的受力方向相反。

📐 例题

一个电子以 m/s的速度垂直进入磁感应强度为0.2 T的均匀磁场。计算电子受到的磁力大小。

  1. 1

    回忆垂直运动时的力公式：

  2. 2
    F=qvBF = qvB
  3. 3

    代入已知值 C：

  4. 4
    F=(1.6×10−19)(3.0×106)(0.2)F = (1.6 \times 10^{-19})(3.0 \times 10^6)(0.2)
  5. 5

    计算最终大小：

  6. 6
    F=9.6×10−14 NF = 9.6 \times 10^{-14} \text{ N}

2. 均匀磁场中的圆周运动★★☆☆☆⏱ 6 min

当带电粒子以垂直于磁场的速度进入均匀磁场时，磁力始终垂直于速度方向。这个力充当向心力，引发匀速圆周运动，且粒子速率保持不变，因为磁力不做功。

🔬 推导
目标:

推导圆周运动半径的表达式

起点:

将垂直运动的磁力与向心力相等

  1. 1

    磁力提供向心力：

  2. 2
    qvB=mv2rqvB = \frac{mv^2}{r}
  3. 3

    两边消去速度 ：

  4. 4
    qB=mvrqB = \frac{mv}{r}
  5. 5

    整理得到半径 的表达式：

  6. 6
    r=mvqBr = \frac{mv}{qB}
结果:

半径与粒子动量 成正比，与电荷量 和磁感应强度 成反比。

📐 例题

一个质子（ kg， C）在均匀0.15 T磁场中做半径为0.2 m的圆周运动，计算它的速率。

  1. 1

    从半径公式开始：

  2. 2
    r=mvqBr = \frac{mv}{qB}
  3. 3

    整理分离出 ：

  4. 4
    v=rqBmv = \frac{rqB}{m}
  5. 5

    代入数值：

  6. 6
    v=(0.2)(1.6×10−19)(0.15)1.67×10−27≈2.9×106 m/sv = \frac{(0.2)(1.6 \times 10^{-19})(0.15)}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 2.9 \times 10^6 \, \text{m/s}

3. 电场与磁场的组合场★★★☆☆⏱ 7 min

当同时存在电场和磁场时，总洛伦兹力是电场力 和磁力 的矢量和。IB考试中一个常见的考点应用是速度选择器，它利用交叉（相互垂直）的电场和磁场筛选出特定速度的粒子。

📘 定义

速度选择器

只允许特定速度的粒子无偏转通过的装置。无偏转运动时，电场力和磁力相互抵消。

📐 例题

一个速度选择器存在200 V/m的电场，垂直于0.05 T的磁场。什么速度可以让任意带电粒子无偏转通过？

  1. 1

    无偏转运动时，力的大小相等：

  2. 2
    qE=qvBqE = qvB
  3. 3

    两边消去电荷量 ：

  4. 4
    E=vBE = vB
  5. 5

    整理得到 并代入数值：

  6. 6
    v=EB=2000.05=4000 m/sv = \frac{E}{B} = \frac{200}{0.05} = 4000 \, \text{m/s}
✓ 快速检测

测试你对速度选择器的理解：

  1. 一个速度大于选定速度的正离子会受到：

    • 沿电场力方向的合力

    • 与电场力方向相反的合力

    • 合力为零

    • 沿运动方向的合力

    显示答案
    1 —

    当 ，磁力 ，因此合力沿磁力方向，在交叉场中与电场力方向相反。

4. 与磁场成夹角的螺旋运动★★★☆☆⏱ 6 min

当速度存在平行于磁场的分量时，平行分量不受磁力，因为 。只有垂直分量会产生圆周运动，最终形成沿磁感线的螺旋轨迹。

📐 例题

一个电子以 m/s 的速度进入0.1 T的磁场，速度方向与磁感线成30°角。计算螺旋轨迹的半径。

  1. 1

    计算速度的垂直分量：

  2. 2
    v⊥=vsin⁡θ=(2×106)sin⁡(30∘)=1×106 m/sv_\perp = v\sin\theta = (2 \times 10^6)\sin(30^\circ) = 1 \times 10^6 \, \text{m/s}
  3. 3

    使用垂直分量 代入半径公式：

  4. 4
    r=mev⊥qeBr = \frac{m_e v_\perp}{q_e B}
  5. 5

    代入 kg， C：

  6. 6
    r=(9.11×10−31)(1×106)(1.6×10−19)(0.1)≈5.7×10−5 mr = \frac{(9.11 \times 10^{-31})(1 \times 10^6)}{(1.6 \times 10^{-19})(0.1)} \approx 5.7 \times 10^{-5} \, \text{m}

5. 常见陷阱

错误做法:

直接使用右手定则判断负电荷的受力方向，导致方向错误

原因:

右手定则仅给出正电荷的受力方向

正确做法:

对于电子和负离子，总是需要翻转右手定则得到的受力方向

错误做法:

计算螺旋运动半径时使用总速度而非垂直速度

原因:

只有速度的垂直分量对磁力和圆周运动有贡献

正确做法:

当速度与磁场成夹角时，总是先计算

错误做法:

认为磁力对带电粒子做功，改变粒子速率

原因:

磁力始终垂直于速度方向，因此做功为零

正确做法:

纯磁场中速率保持不变，只有运动方向改变

错误做法:

认为速度选择器选定的速度取决于粒子的电荷量或质量

原因:

当电场力和磁力相等时，电荷量会被消去

正确做法:

记住 ，该式与所有粒子属性无关，仅取决于 和

错误做法:

将半径公式写为 而非

原因:

动量越大的粒子轨迹半径越大，而非越小

正确做法:

考试中可以通过重新推导等式 快速确认公式

6. 速查表

概念

公式

要点

磁力

= 与 的夹角， 且

圆周轨迹半径

适用于 ，与动量成正比

总洛伦兹力

电场力和磁力的矢量和

无偏转速度

交叉场，与粒子质量和电荷量无关

螺旋轨迹半径

平行速度分量保持不变

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

电磁场中的运动是IB物理HL的核心考核主题，在选择题和拓展回答题中都经常出现。本小节建立在你对磁力和圆周运动的理解之上，是现代物理中理解粒子探测和加速的基础。接下来你将学习电磁感应，它描述变化的磁场如何产生电流，这个概念有广泛的技术应用。