# D.3 电磁场中的运动

> IB 物理 HL · 主题 D：场
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u4-d-3-motion-in-electromagnetic/

本小节探究带电粒子在磁场以及组合电磁场中的运动。我们会讲解受力规则、圆周和螺旋运动，以及IB考试中经常考核的常见应用。

**先修:** [磁场与磁力](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u4-d-2-magnetic-fields/); [匀速圆周运动与向心力](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-global-mechanics-circular-motion/)

## 学习目标

- 计算均匀场中运动带电粒子受到的磁力
- 推导磁场中带电粒子回旋半径的公式
- 分析粒子在组合电场和磁场中的运动
- 将概念应用于速度选择器等常见场景

## 运动电荷受到的洛伦兹力

**洛伦兹力** — 带电粒子在电场和磁场中运动时受到的总电磁力。仅存在磁场时，$F = qvB\sin\theta$，其中$\theta$是速度$v$和磁感应强度$B$之间的夹角。

*记法:* \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})

*例:* 一个质子以$2 \times 10^6$ m/s的速度垂直进入0.5 T的磁场，受到的磁力大小为$1.6 \times 10^{-13}$ N。

磁力的方向始终同时垂直于电荷的速度方向和磁场方向，使用右手定则判断正电荷的受力方向。负电荷的受力方向相反。

> **mnemonic**
>
> 右手定则：四指指向速度方向，弯曲向磁场方向，拇指指向受力方向。负电荷需要翻转拇指方向。

**例题:** 一个电子以$3.0 \times 10^6$ m/s的速度垂直进入磁感应强度为0.2 T的均匀磁场。计算电子受到的磁力大小。

1. 回忆垂直运动时的力公式：
2. $$F = qvB$$
3. 代入已知值 $q = 1.6 \times 10^{-19}$ C：
4. $$F = (1.6 \times 10^{-19})(3.0 \times 10^6)(0.2)$$
5. 计算最终大小：
6. $$F = 9.6 \times 10^{-14} \text{ N}$$

## 均匀磁场中的圆周运动

当带电粒子以垂直于磁场的速度进入均匀磁场时，磁力始终垂直于速度方向。这个力充当向心力，引发匀速圆周运动，且粒子速率保持不变，因为磁力不做功。

**推导:** 推导圆周运动半径的表达式

*起点:* 将垂直运动的磁力与向心力相等

1. 磁力提供向心力：
2. $$qvB = \frac{mv^2}{r}$$
3. 两边消去速度 $v$：
4. $$qB = \frac{mv}{r}$$
5. 整理得到半径 $r$ 的表达式：
6. $$r = \frac{mv}{qB}$$

*结论:* 半径与粒子动量 $mv$ 成正比，与电荷量 $q$ 和磁感应强度 $B$ 成反比。

**例题:** 一个质子（$m = 1.67 \times 10^{-27}$ kg，$q = +1.6 \times 10^{-19}$ C）在均匀0.15 T磁场中做半径为0.2 m的圆周运动，计算它的速率。

1. 从半径公式开始：
2. $$r = \frac{mv}{qB}$$
3. 整理分离出 $v$：
4. $$v = \frac{rqB}{m}$$
5. 代入数值：
6. $$v = \frac{(0.2)(1.6 \times 10^{-19})(0.15)}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 2.9 \times 10^6 \, \text{m/s}$$

## 电场与磁场的组合场

当同时存在电场和磁场时，总洛伦兹力是电场力 $qE$ 和磁力 $qv \times B$ 的矢量和。IB考试中一个常见的考点应用是速度选择器，它利用交叉（相互垂直）的电场和磁场筛选出特定速度的粒子。

**速度选择器** — 只允许特定速度的粒子无偏转通过的装置。无偏转运动时，电场力和磁力相互抵消。

**例题:** 一个速度选择器存在200 V/m的电场，垂直于0.05 T的磁场。什么速度可以让任意带电粒子无偏转通过？

1. 无偏转运动时，力的大小相等：
2. $$qE = qvB$$
3. 两边消去电荷量 $q$：
4. $$E = vB$$
5. 整理得到 $v$ 并代入数值：
6. $$v = \frac{E}{B} = \frac{200}{0.05} = 4000 \, \text{m/s}$$

**概念自测**

测试你对速度选择器的理解：

1. 一个速度大于选定速度的正离子会受到：

   - 沿电场力方向的合力
   - 与电场力方向相反的合力
   - 合力为零
   - 沿运动方向的合力

   *答案:* 与电场力方向相反的合力

   *解析:* 当 $v > \frac{E}{B}$，磁力 $qvB > qE$，因此合力沿磁力方向，在交叉场中与电场力方向相反。

## 与磁场成夹角的螺旋运动

当速度存在平行于磁场的分量时，平行分量不受磁力，因为 $v_{\parallel} \times B = 0$。只有垂直分量会产生圆周运动，最终形成沿磁感线的螺旋轨迹。

**例题:** 一个电子以 $2 \times 10^6$ m/s 的速度进入0.1 T的磁场，速度方向与磁感线成30°角。计算螺旋轨迹的半径。

1. 计算速度的垂直分量：
2. $$v_\perp = v\sin\theta = (2 \times 10^6)\sin(30^\circ) = 1 \times 10^6 \, \text{m/s}$$
3. 使用垂直分量 $v_\perp$ 代入半径公式：
4. $$r = \frac{m_e v_\perp}{q_e B}$$
5. 代入 $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ kg，$q_e = 1.6 \times 10^{-19}$ C：
6. $$r = \frac{(9.11 \times 10^{-31})(1 \times 10^6)}{(1.6 \times 10^{-19})(0.1)} \approx 5.7 \times 10^{-5} \, \text{m}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 直接使用右手定则判断负电荷的受力方向，导致方向错误
  - 原因: 右手定则仅给出正电荷的受力方向
  - 正确做法: 对于电子和负离子，总是需要翻转右手定则得到的受力方向
- **错误做法:** 计算螺旋运动半径时使用总速度而非垂直速度
  - 原因: 只有速度的垂直分量对磁力和圆周运动有贡献
  - 正确做法: 当速度与磁场成夹角时，总是先计算 $v_\perp = v\sin\theta$
- **错误做法:** 认为磁力对带电粒子做功，改变粒子速率
  - 原因: 磁力始终垂直于速度方向，因此做功为零
  - 正确做法: 纯磁场中速率保持不变，只有运动方向改变
- **错误做法:** 认为速度选择器选定的速度取决于粒子的电荷量或质量
  - 原因: 当电场力和磁力相等时，电荷量会被消去
  - 正确做法: 记住 $v = \frac{E}{B}$，该式与所有粒子属性无关，仅取决于 $E$ 和 $B$
- **错误做法:** 将半径公式写为 $r = \frac{qB}{mv}$ 而非 $r = \frac{mv}{qB}$
  - 原因: 动量越大的粒子轨迹半径越大，而非越小
  - 正确做法: 考试中可以通过重新推导等式 $qvB = \frac{mv^2}{r}$ 快速确认公式

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 磁力 | $F = qvB\sin\theta$ | $\theta$ = $v$ 与 $B$ 的夹角，$F \perp v$ 且 $F \perp B$ |
| 圆周轨迹半径 | $r = \frac{mv}{qB}$ | 适用于 $v \perp B$，与动量成正比 |
| 总洛伦兹力 | $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ | 电场力和磁力的矢量和 |
| 无偏转速度 | $v = \frac{E}{B}$ | 交叉场，与粒子质量和电荷量无关 |
| 螺旋轨迹半径 | $r = \frac{mv\sin\theta}{qB}$ | 平行速度分量保持不变 |

## 下一步

电磁场中的运动是IB物理HL的核心考核主题，在选择题和拓展回答题中都经常出现。本小节建立在你对磁力和圆周运动的理解之上，是现代物理中理解粒子探测和加速的基础。接下来你将学习电磁感应，它描述变化的磁场如何产生电流，这个概念有广泛的技术应用。

- [D.4 电流的磁效应](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u4-d-4-magnetic-effects-of/)
- [D.5 电磁感应 (AHL)](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u4-d-5-electromagnetic-induction/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u4-d-3-motion-in-electromagnetic/