学习指南

C.7 衍射与分辨率（AHL）

IB 物理 HL· 主题 C：波动行为，主题 C.7· 25 分钟阅读

1. 单缝衍射★★★☆☆⏱ 8 min

📘 定义

单缝衍射

单色光穿过窄缝时发生扩散，产生特征图样：一个宽的亮中央明纹，两侧是更小、更暗的次级明纹，次级明纹之间由暗纹隔开。

例:

光穿过0.1 mm宽的竖直狭缝，会在远处的屏幕上产生水平方向的衍射图样。

根据惠更斯原理，狭缝宽度上的每一点都可看作次波的波源。这些次波之间发生相消干涉，在满足以下条件的角度上产生暗纹：

asin⁡θ=nλn=1,2,3,...a \sin\theta = n\lambda \quad n = 1, 2, 3, ...

其中 = 缝宽， = 第级暗纹的角位置， = 波长。小角度下，，其中 = 屏幕上中央明纹中心到暗纹的距离， = 狭缝到屏幕的距离。中央明纹的宽度是到第一级（）暗纹距离的两倍。

📐 例题

宽度为0.10 mm的狭缝被波长450 nm的蓝光照射，求距离狭缝2.0 m处屏幕上中央明纹的宽度。

  1. 1

    将所有单位转换为国际单位制：

  2. 2
    a=0.10 mm=1.0×10−4 m,λ=450 nm=4.5×10−7 m,D=2.0 ma = 0.10 \, \text{mm} = 1.0 \times 10^{-4} \, \text{m}, \quad \lambda = 450 \, \text{nm} = 4.5 \times 10^{-7} \, \text{m}, \quad D = 2.0 \, \text{m}
  3. 3

    求第一级暗纹（）对应的：

  4. 4
    sin⁡θ=nλa=1×4.5×10−71.0×10−4=4.5×10−3\sin\theta = \frac{n\lambda}{a} = \frac{1 \times 4.5 \times 10^{-7}}{1.0 \times 10^{-4}} = 4.5 \times 10^{-3}
  5. 5

    使用小角度近似计算中心到第一级暗纹的距离：

  6. 6
    y=Dsin⁡θ=2.0×4.5×10−3=9.0×10−3 my = D \sin\theta = 2.0 \times 4.5 \times 10^{-3} = 9.0 \times 10^{-3} \, \text{m}
  7. 7

    中央明纹宽度是的两倍：

  8. 8
    Width=2y=1.8×10−2 m=18 mm\text{Width} = 2y = 1.8 \times 10^{-2} \, \text{m} = 18 \, \text{mm}

Exam tip:

缝越窄，中央明纹越宽：记住缝宽和衍射图样大小成反比关系。

2. 瑞利判据★★★★☆⏱ 7 min

📘 定义

瑞利判据

当一个点光源衍射图样的中央明纹刚好与另一个点光源衍射图样的第一级暗纹重合时，两个点光源刚好能被孔径分辨。

对于圆形孔径（透镜、反射镜、瞳孔最常见的形状），两个刚好可分辨光源的最小角间隔满足：

θ=1.22λD\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}

其中是圆形孔径的直径。1.22这个因子来自圆形衍射的数学解，不适用于矩形单缝。

📐 例题

两个相距1.5 m的点光源距离观察者1.0 km，对于波长550 nm的光，求观察者刚好分辨两个光源所需的最小瞳孔直径。

  1. 1

    用小角度近似计算两个光源的角间隔：

  2. 2
    θ≈separationdistance=1.51000=1.5×10−3 radians\theta \approx \frac{\text{separation}}{\text{distance}} = \frac{1.5}{1000} = 1.5 \times 10^{-3} \, \text{radians}
  3. 3

    整理瑞利判据求解：

  4. 4
    D=1.22λθD = 1.22 \frac{\lambda}{\theta}
  5. 5

    代入数值：

  6. 6
    D=1.22×550×10−91.5×10−3≈4.5×10−4 m=0.45 mmD = 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9}}{1.5 \times 10^{-3}} \approx 4.5 \times 10^{-4} \, \text{m} = 0.45 \, \text{mm}

3. 光学仪器的分辨率★★★★☆⏱ 6 min

分辨率是所有成像设备的核心性能指标，常见实例包括：

  • 天文望远镜：大尺寸主镜通过增大提高分辨率

  • 射电望远镜：需要非常大的孔径（或望远镜阵列），因为射电波的波长比光波长几千倍

  • 电子显微镜：利用德布罗意波长极短的电子，获得比光学显微镜高得多的分辨率

📐 例题

比较直径76 m、观测1420 MHz射电波的射电望远镜，和直径1 m、观测550 nm可见光的光学望远镜的角分辨率。

  1. 1

    由计算射电波波长：

  2. 2
    λradio=3.0×1081420×106≈0.21 m\lambda_{\text{radio}} = \frac{3.0 \times 10^8}{1420 \times 10^6} \approx 0.21 \, \text{m}
  3. 3

    计算射电望远镜的分辨率：

  4. 4
    θradio=1.220.2176≈3.4×10−3 rad=0.19∘\theta_{\text{radio}} = 1.22 \frac{0.21}{76} \approx 3.4 \times 10^{-3} \, \text{rad} = 0.19^\circ
  5. 5

    计算光学望远镜的分辨率：

  6. 6
    θoptical=1.22550×10−91≈6.7×10−7 rad=0.000038∘\theta_{\text{optical}} = 1.22 \frac{550 \times 10^{-9}}{1} \approx 6.7 \times 10^{-7} \, \text{rad} = 0.000038^\circ
  7. 7

    即使孔径大了76倍，由于射电波的波长远长于可见光，射电望远镜的分辨率仍比光学望远镜差约5000倍。

✓ 快速检测

测试你的理解：

  1. 以下哪一项会提高望远镜的分辨率？

    • 增大观测光的波长

    • 增大主镜的直径

    • 减小主镜的直径

    • 增大目镜焦距

    显示答案
    1 —

    当最小可分辨越小时，分辨率越高。从可知，增大会减小，因此分辨率提高。

4. 常见陷阱

错误做法:

圆形孔径计算时忘记乘以1.22因子，错用单缝公式

原因:

大多数考题涉及圆形孔径（透镜、瞳孔、反射镜），圆形衍射的数学解要求加入1.22修正因子

正确做法:

一定要检查孔径形状：圆形孔径用，矩形单缝不需要1.22因子

错误做法:

认为狭缝越窄，衍射图样越窄

原因:

衍射图样的角大小正比于，因此越小（缝越窄），图样越大

正确做法:

记住：孔径越小 = 扩散越明显 = 衍射图样越宽 = 分辨率越差

错误做法:

小角度近似计算中用角度制代替弧度制

原因:

近似公式仅在用弧度制度量时成立

正确做法:

衍射和分辨率问题中，始终要将角度转换为弧度制

错误做法:

单缝衍射中第一级暗纹错用

原因:

对应图样中心，也就是中央明纹，不是暗纹

正确做法:

第一级暗纹对应，因此中央明纹宽度是暗纹位置的两倍

5. 速查表

概念

公式

要点

单缝暗纹

给出暗条纹位置

中央明纹宽度

小角度近似

瑞利判据（圆形孔径）

最小可分辨角间隔

瑞利判据（矩形狭缝）

无1.22因子

小角度近似

必须用弧度制

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

  • 2025 · 2

    望远镜分辨率计算

  • 2024 · 1

    单缝中央明纹宽度

  • 2023 · 2

    瑞利判据应用

下一步

衍射和分辨率是所有现代成像技术的基础，从最大的天文望远镜到最小的医用显微镜和智能手机相机都离不开它。你在这里学到的波衍射原理也是X射线晶体学（用于绘制分子结构）和天文学甚长基线干涉测量（用于生成黑洞图像）的基础。本小节完成了IB物理大纲中AHL波动行为部分的内容，之后你将进入天文学、量子力学等其他主题，继续应用波动概念。