# C.7 衍射与分辨率（AHL）

> IB 物理 HL · IB DP 物理 2025
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-7-diffraction-and-resolution/

本小节内容包括单缝衍射图样、衍射暗纹位置，以及图像分辨率的瑞利判据。你将学习解决望远镜等常见光学仪器的分辨率相关问题。

**先修:** [波动性质与惠更斯原理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-wave-basics/); [波的干涉](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-6-interference/)

## 学习目标

- 描述单缝衍射图样，并计算中央明纹的宽度
- 记住并应用单缝衍射暗纹公式
- 陈述并解释分辨两个光源的瑞利判据
- 解决常见光学仪器分辨率相关问题

## 单缝衍射

**单缝衍射** — 单色光穿过窄缝时发生扩散，产生特征图样：一个宽的亮中央明纹，两侧是更小、更暗的次级明纹，次级明纹之间由暗纹隔开。

*例:* 光穿过0.1 mm宽的竖直狭缝，会在远处的屏幕上产生水平方向的衍射图样。

根据惠更斯原理，狭缝宽度上的每一点都可看作次波的波源。这些次波之间发生相消干涉，在满足以下条件的角度上产生暗纹：

$$a \sin\theta = n\lambda \quad n = 1, 2, 3, ...$$

其中 $a$ = 缝宽，$\theta$ = 第$n$级暗纹的角位置，$\lambda$ = 波长。小角度下，$\sin\theta \approx \theta \approx \frac{y}{D}$，其中 $y$ = 屏幕上中央明纹中心到暗纹的距离，$D$ = 狭缝到屏幕的距离。中央明纹的宽度是到第一级（$n=1$）暗纹距离的两倍。

**例题:** 宽度为0.10 mm的狭缝被波长450 nm的蓝光照射，求距离狭缝2.0 m处屏幕上中央明纹的宽度。

1. 将所有单位转换为国际单位制：
2. $$a = 0.10 \, \text{mm} = 1.0 \times 10^{-4} \, \text{m}, \quad \lambda = 450 \, \text{nm} = 4.5 \times 10^{-7} \, \text{m}, \quad D = 2.0 \, \text{m}$$
3. 求第一级暗纹（$n=1$）对应的$\sin\theta$：
4. $$\sin\theta = \frac{n\lambda}{a} = \frac{1 \times 4.5 \times 10^{-7}}{1.0 \times 10^{-4}} = 4.5 \times 10^{-3}$$
5. 使用小角度近似计算中心到第一级暗纹的距离$y$：
6. $$y = D \sin\theta = 2.0 \times 4.5 \times 10^{-3} = 9.0 \times 10^{-3} \, \text{m}$$
7. 中央明纹宽度是$y$的两倍：
8. $$\text{Width} = 2y = 1.8 \times 10^{-2} \, \text{m} = 18 \, \text{mm}$$

> **考试提示:** 缝越窄，中央明纹越宽：记住缝宽和衍射图样大小成反比关系。

## 瑞利判据

**瑞利判据** — 当一个点光源衍射图样的中央明纹刚好与另一个点光源衍射图样的第一级暗纹重合时，两个点光源刚好能被孔径分辨。

对于圆形孔径（透镜、反射镜、瞳孔最常见的形状），两个刚好可分辨光源的最小角间隔满足：

$$\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$$

其中$D$是圆形孔径的直径。1.22这个因子来自圆形衍射的数学解，不适用于矩形单缝。

> **tip**
>
> $\theta$越小，分辨率越高：波长越短、孔径越大，分辨率越好。

**例题:** 两个相距1.5 m的点光源距离观察者1.0 km，对于波长550 nm的光，求观察者刚好分辨两个光源所需的最小瞳孔直径。

1. 用小角度近似计算两个光源的角间隔：
2. $$\theta \approx \frac{\text{separation}}{\text{distance}} = \frac{1.5}{1000} = 1.5 \times 10^{-3} \, \text{radians}$$
3. 整理瑞利判据求解$D$：
4. $$D = 1.22 \frac{\lambda}{\theta}$$
5. 代入数值：
6. $$D = 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9}}{1.5 \times 10^{-3}} \approx 4.5 \times 10^{-4} \, \text{m} = 0.45 \, \text{mm}$$

## 光学仪器的分辨率

分辨率是所有成像设备的核心性能指标，常见实例包括：

- **天文望远镜**：大尺寸主镜通过增大$D$提高分辨率
- **射电望远镜**：需要非常大的孔径（或望远镜阵列），因为射电波的波长比光波长几千倍
- **电子显微镜**：利用德布罗意波长极短的电子，获得比光学显微镜高得多的分辨率

**例题:** 比较直径76 m、观测1420 MHz射电波的射电望远镜，和直径1 m、观测550 nm可见光的光学望远镜的角分辨率。

1. 由$c = f\lambda$计算射电波波长：
2. $$\lambda_{\text{radio}} = \frac{3.0 \times 10^8}{1420 \times 10^6} \approx 0.21 \, \text{m}$$
3. 计算射电望远镜的分辨率：
4. $$\theta_{\text{radio}} = 1.22 \frac{0.21}{76} \approx 3.4 \times 10^{-3} \, \text{rad} = 0.19^\circ$$
5. 计算光学望远镜的分辨率：
6. $$\theta_{\text{optical}} = 1.22 \frac{550 \times 10^{-9}}{1} \approx 6.7 \times 10^{-7} \, \text{rad} = 0.000038^\circ$$
7. 即使孔径大了76倍，由于射电波的波长远长于可见光，射电望远镜的分辨率仍比光学望远镜差约5000倍。

**概念自测**

测试你的理解：

1. 以下哪一项会提高望远镜的分辨率？

   - 增大观测光的波长
   - 增大主镜的直径
   - 减小主镜的直径
   - 增大目镜焦距

   *答案:* 增大主镜的直径

   *解析:* 当最小可分辨$\theta$越小时，分辨率越高。从$\theta = 1.22 \lambda/D$可知，增大$D$会减小$\theta$，因此分辨率提高。

## 常见错误

- **错误做法:** 圆形孔径计算时忘记乘以1.22因子，错用单缝公式$\theta = \lambda/a$
  - 原因: 大多数考题涉及圆形孔径（透镜、瞳孔、反射镜），圆形衍射的数学解要求加入1.22修正因子
  - 正确做法: 一定要检查孔径形状：圆形孔径用$\theta = 1.22 \lambda/D$，矩形单缝不需要1.22因子
- **错误做法:** 认为狭缝越窄，衍射图样越窄
  - 原因: 衍射图样的角大小正比于$\lambda/a$，因此$a$越小（缝越窄），图样越大
  - 正确做法: 记住：孔径越小 = 扩散越明显 = 衍射图样越宽 = 分辨率越差
- **错误做法:** 小角度近似计算中用角度制代替弧度制
  - 原因: 近似公式$\sin\theta \approx \theta$仅在$\theta$用弧度制度量时成立
  - 正确做法: 衍射和分辨率问题中，始终要将角度转换为弧度制
- **错误做法:** 单缝衍射中第一级暗纹错用$n=0$
  - 原因: $n=0$对应图样中心，也就是中央明纹，不是暗纹
  - 正确做法: 第一级暗纹对应$n=1$，因此中央明纹宽度是$n=1$暗纹位置的两倍

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 单缝暗纹 | $a \sin\theta = n\lambda$ $n=1,2,3...$ | 给出暗条纹位置 |
| 中央明纹宽度 | $2y = 2D\lambda/a$ | 小角度近似 |
| 瑞利判据（圆形孔径） | $\theta = 1.22 \lambda/D$ | 最小可分辨角间隔 |
| 瑞利判据（矩形狭缝） | $\theta = \lambda/a$ | 无1.22因子 |
| 小角度近似 | $\theta \approx d/L$ | $\theta$必须用弧度制 |

## 下一步

衍射和分辨率是所有现代成像技术的基础，从最大的天文望远镜到最小的医用显微镜和智能手机相机都离不开它。你在这里学到的波衍射原理也是X射线晶体学（用于绘制分子结构）和天文学甚长基线干涉测量（用于生成黑洞图像）的基础。本小节完成了IB物理大纲中AHL波动行为部分的内容，之后你将进入天文学、量子力学等其他主题，继续应用波动概念。

- [C.6 干涉](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-6-interference/)
- [主题D：场](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u4-overview/)

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