# C.5 多普勒效应 (AHL)

> IB 物理 HL · 主题 C：波动行为
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-5-doppler-effect/

本小节介绍多普勒效应，即波源和观察者之间的相对运动导致观测频率发生偏移。你将学习声波和光波的相关公式，以及常见的实际应用。

**先修:** [波的频率和波长](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-2-travelling-waves/); [波在介质中的波速](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-2-travelling-waves/)

## 学习目标

- 解释运动波源和运动观察者产生多普勒效应的物理起源
- 计算非相对论运动下的频率和波长偏移
- 将多普勒频移概念应用于红移、蓝移和实际问题
- 解决需要多次连续多普勒频移的反射问题

## 1. 多普勒效应的物理起源

多普勒效应描述了当波源和观察者相对运动时，观测到的波频率发生变化的现象。它适用于所有类型的波，包括声波、光波和水波。

**多普勒效应** — 探测器相对波源运动时观测到的波频率变化，由波源与观察者沿连线方向的相对运动引起。

运动波源和运动观察者产生频移的物理原因不同：
- 向观察者运动的波源，每个新波阵面的发射位置都比上一个更靠近观察者，因此在运动方向上波长被压缩。
- 向静止波源运动的观察者，单位时间内会遇到更多波阵面，因为观察者相对波阵面的速度更高。

**例题:** 一个声源向静止观察者运动，解释为什么观测频率高于波源频率。

1. 当波源向观察者运动时，每个连续波阵面都从比上一个波阵面更靠近观察者的位置发射。
2. 这减小了相邻波阵面之间的距离，因此观察者方向的波长比波源原波长短。
3. 空气中的声速在固定介质中是恒定的，所以 $v = f' \lambda'$。更小的 $\lambda'$ 会得到更高的观测频率 $f'$。

> **考试提示:** 靠近运动总是提高观测频率，远离运动总是降低观测频率。用这个规律检查你的计算结果。

## 2. 非相对论多普勒公式

当相对速度远小于光速（$v \ll c$）时，这适用于IB考试中几乎所有声波问题，我们使用标准的非相对论多普勒公式：

$$f' = f \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}$$

**非相对论多普勒频移** — 相对介质非相对论运动下计算观测频率的公式。$v_o$ 是观察者速度，$v_s$ 是波源相对介质的速度。

*记法:* f' = f \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}

> **符号规则记忆法**
>
> 靠近=分子加，远离=分母加：
> - 观察者向波源运动：分子加 $v_o$
> - 波源远离观察者：分母加 $v_s$

**例题:** 汽车喇叭发出400 Hz的声音，以25 m/s的速度向静止观察者运动，声速为340 m/s。计算观测频率。

1. 确定各量：$f = 400$ Hz，$v_s = 25$ m/s，$v_o = 0$，$v = 340$ m/s。波源向观察者运动，因此分母减去 $v_s$。
2. $$f' = 400 \times \frac{340 + 0}{340 - 25}$$
3. $$f' = 400 \times \frac{340}{315} \approx 432 \text{ Hz}$$
4. 检查：波源向观察者运动，频率应该高于 400 Hz。结果符合预期。

*计算器:* allowed

## 3. 光波的多普勒效应

光不需要传播介质，因此光的多普勒频移仅取决于波源和观察者之间的相对速度。对于IB HL，我们仅需要 $v \ll c$ 的非相对论近似，公式为：

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$$

其中 $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda$ 是波长变化量，$v$ 是沿视线方向的相对速度，$c$ 是光速。远离的波源会产生正 $\Delta \lambda$（波长更长，称为红移），而靠近的波源产生负 $\Delta \lambda$（波长更短，称为蓝移）。

**红移** — 远离光源产生的光的多普勒频移，会增加观测波长，使其向可见光谱的红端移动。

**例题:** 遥远星系的一条氢谱线静止波长为 656 nm，在地球上测量为 682 nm。计算星系的退行速度。

1. 计算 $\Delta \lambda = 682 - 656 = 26$ nm，$\lambda = 656$ nm，$c = 3.0 \times 10^8$ m/s。
2. $$v = c \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$$
3. $$v = 3.0 \times 10^8 \times \frac{26}{656} \approx 1.2 \times 10^7 \text{ m/s}$$
4. 检查：波长增加，说明星系远离地球，和我们得到的正速度结果一致。

> **考试提示:** 始终确认：更长波长对应退行波源，更短波长对应靠近波源。

*计算器:* allowed

## 4. 实际应用与反射波

IB考试中常考的多普勒效应实际应用包括：

- 雷达测速枪：通过反射无线电波的频率偏移测量车辆速度
- 超声波：通过运动血细胞反射波的频移测量血流速度
- 天文学：测量星系退行速度，研究宇宙膨胀

对于运动物体的反射波，你必须计算两次连续多普勒频移：首先运动物体作为运动观察者，然后作为发射反射波的运动波源。

**例题:** 频率为 5.0 MHz 的超声波被向探头运动的血流反射，血流速度为 0.50 m/s，超声波在组织中的速度为 1500 m/s。计算频率偏移。

1. 第一步：血流作为朝向静止波源运动的观察者。
2. $$f' = f \frac{v + v_{\text{blood}}}{v} = 5.0 \times 10^6 \times \frac{1500 + 0.5}{1500} = 5001667 \text{ Hz}$$
3. 第二步：血流作为运动波源，向静止探头发射频率 $f'$。
4. $$f'' = f' \frac{v}{v - v_{\text{blood}}} = 5001667 \times \frac{1500}{1500 - 0.5} \approx 5003333 \text{ Hz}$$
5. $$\Delta f = f'' - f = 3300 \text{ Hz} = 3.3 \text{ kHz}$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 波源向观察者运动时，分母加 $v_s$
  - 原因: 经常记错符号规则，导致得到相反的频移结果
  - 正确做法: 使用记忆法：靠近=分母减 $v_s$，分子加 $v_o$；远离=符号反转
- **错误做法:** 对光使用分波源和观察者速度的依赖介质的公式
  - 原因: 光不需要传播介质，因此公式仅取决于相对速度
  - 正确做法: 对光使用 $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$，其中 $v$ 是沿视线方向的相对速度
- **错误做法:** 认为红移意味着更高的观测频率
  - 原因: 红移定义为波长变长，对应频率更低
  - 正确做法: 记住：红移=波长更长，频率更低；蓝移=波长更短，频率更高
- **错误做法:** 对运动物体反射波只计算一次多普勒频移
  - 原因: 大多数问题只需要一次频移，因此很容易遗漏反射的第二次频移
  - 正确做法: 始终计算两次连续频移：一次运动物体作为观察者，一次作为运动波源
- **错误做法:** 对垂直于视线方向的运动计算多普勒频移
  - 原因: 多普勒效应仅由沿波源观察者连线的运动产生
  - 正确做法: 如果速度没有沿视线方向的分量，多普勒频移为零

## 速查表

| 场景 | 公式 | 经验法则 |
| --- | --- | --- |
| 运动观察者，静止波源 | $f' = f \frac{v \pm v_o}{v}$ | 靠近：+，远离：- |
| 运动波源，静止观察者 | $f' = f \frac{v}{v \mp v_s}$ | 靠近：-，远离：+ |
| 非相对论光 | $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ | 退行：+v = 红移 |
| 运动物体反射波 | 两次连续频移 | 先观察者，后波源 |

## 下一步

掌握多普勒效应对IB 物理 HL考试至关重要，因为它经常出现在Paper 1的计算题和Paper 2的拓展回答题中。这个核心波动现象将基本波动性质与医学、工程和天文学的实际应用联系起来，并且建立在你对基本波动行为的理解之上。你在这里学到的概念为天体物理学（如宇宙膨胀）和相对论（高速运动引入相对论多普勒频移）提供了基础。练习符号规则和反射波问题可以确保你在这个常见考试考点拿到满分。

- [C.2 行波](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-2-travelling-waves/)
- [C.6 干涉 (AHL)](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-6-interference/)
- [C.7 衍射与分辨率（AHL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-7-diffraction-and-resolution/)

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