C.4 驻波与共振

IB 物理 HL· 45 分钟阅读

1. 驻波的形成★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

驻波（静止波）

由两个传播方向相反、完全相同的行波叠加形成的波，其零振幅和最大振幅的位置固定，没有净能量转移。

例:

入射波在固定边界反射后与入射波干涉形成的波

驻波的核心特征：波节是振幅为零的固定点，波腹是振幅最大的固定点。相邻两个波节之间的距离为 $\frac{λ}{2}$ ，相邻波节与波腹之间的距离为 $\frac{λ}{4}$ 。

📐 例题

某驻波的相邻波腹相距 12.5 cm，求原行波的波长是多少？

1
和相邻波节一样，相邻波腹之间的间隔为半个波长：
2
$\frac{\lambda}{2} = 12.5 \text{ cm}$
3
求解波长：
4
$\lambda = 2 \times 12.5 = 25 \text{ cm} = 0.25 \text{ m}$

Exam tip:

永远不要混淆驻波和行波：驻波不会传播能量，波形也不会移动。

2. 固定弦上的驻波★★☆☆☆⏱ 12 min

📘 定义

一次谐频（基频）

f_1

系统最低的可能共振频率，对应满足边界条件的最长可能波长。

两端固定的弦两端都是波节，因此弦长 $L$ 始终是半波长的整数倍，即： $L = n \frac{λ _{n}}{2}$ 其中 $n = 1, 2, 3...$ 是谐频次数。整理后得到频率公式：

f_n = \frac{nv}{2L}

其中 $v$ 是弦上波的传播速度。

📐 例题

一根两端固定的弦长 1.5 m，波速为 300 m/s，计算二次谐频的频率。

1
对固定弦使用 n 次谐频公式：
2
$f_n = \frac{nv}{2L}$
3
代入 $n = 2$ ， $v = 300$ m/s， $L = 1.5$ m：
4
$f_2 = \frac{2 \times 300}{2 \times 1.5} = 200 \text{ Hz}$

3. 开管与闭管中的驻波★★★☆☆⏱ 15 min

驻波会在空气柱（管）中形成，根据端是开口还是封闭有不同的边界条件：

封闭端：空气无法移动，因此这是一个波节
开口端：空气可以自由移动，因此这是一个波腹

对于管来说：

两端开口（开开管）：存在所有谐频，公式和固定弦相同： $f_{n} = \frac{n v}{2 L}, n = 1, 2, 3...$
一端封闭一端开口（闭开管）：仅存在奇次谐频，公式是 $f_{n} = \frac{n v}{4 L}, n = 1, 3, 5...$

📐 例题

一根长 0.75 m 的管一端封闭，另一端开口，声速为 340 m/s，计算基频。

1
闭开管的基频对应 $n = 1$ ，所以 $L = \frac{λ}{4}$ ：
2
$\lambda = 4L = 4 \times 0.75 = 3.0 \text{ m}$
3
使用 $f = \frac{v}{λ}$ 计算频率：
4
$f_1 = \frac{340}{3.0} \approx 113 \text{ Hz}$

4. 共振★★★☆☆⏱ 10 min

📘 定义

共振

当外部驱动力的频率与系统的固有共振频率匹配时，系统以最大振幅振荡的现象。

当驱动力频率匹配系统（弦、空气柱等）的某一个固有谐频时，就会发生共振。这是所有声学乐器的工作原理，共振会放大特定谐频处的声音。

📐 例题

一个 256 Hz 的音叉在闭管中产生第一次共振时，管长为 32 cm，计算声速。

1
闭管第一次共振： $L = \frac{λ}{4}$
2
$\lambda = 4 \times 0.32 = 1.28 \text{ m}$
3
使用 $v = f λ$ 计算：
4
$v = 256 \times 1.28 = 327.68 \approx 330 \text{ m/s}$

5. 常见陷阱

错误做法:

认为闭开管存在偶次谐频

原因:

波节-波腹的边界条件仅允许基波长的奇次倍数

正确做法:

闭开管仅使用 n 的奇数值（1, 3, 5...）

错误做法:

声称驻波传递净能量

原因:

将驻波性质与行波混淆了

正确做法:

记住驻波不传递净能量，能量储存在波节和波腹区域

错误做法:

将管的开口端视为波节

原因:

混淆了开口端和封闭端的边界条件

正确做法:

永远记住：开口端是波腹，封闭端是波节

错误做法:

对固定弦的基频使用 $λ = L$

原因:

忘记两端都是波节，因此只能容纳半个波长

正确做法:

固定弦基频的 $λ = 2 L$

6. 速查表

系统	边界	允许的 n	频率公式
两端固定弦	波节-波节	1, 2, 3...	$f_{n} = \frac{n v}{2 L}$
两端开口管	波腹-波腹	1, 2, 3...	$f_{n} = \frac{n v}{2 L}$
一端封闭管	波节-波腹	1, 3, 5...	$f_{n} = \frac{n v}{4 L}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · Paper 1
谐频频率计算
2024 · Paper 2
闭管中的共振
2023 · Paper 1
驻波与行波的比较

下一步

驻波和共振是几乎所有声学乐器工作的基础，也是物理学各个领域理解波动现象的基础，从机械声波到电路中的电磁驻波，再到量子力学的物质波。掌握边界条件和谐频计算在 IB 物理 HL 的 Paper 1 和 Paper 2 中都经常考查，经常结合叠加原理或波速概念命题。理解共振还有助于解释桥梁结构共振、共振发声等现实世界现象。