# C.3 波动现象

> IB 物理 HL · IB 物理 HL 2025 大纲
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-3-wave-phenomena/

本小节内容包括驻波形成、单缝衍射、双波源干涉和图像分辨率的瑞利判据，这些都是波动行为的核心概念，在IB HL物理考试中频繁考察。

**先修:** [波动基础与叠加原理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-1-wave-basics/); [相干性与光程差](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-2-superposition/)

## 学习目标

- 解释相向传播的波叠加形成驻波的过程
- 计算不同介质中驻波的波节、波腹位置和频率
- 求解单缝衍射和双波源干涉问题
- 应用瑞利判据计算最小可分辨角间距

## 驻波

**驻波** — 由两列传播方向相反、速度相同的完全相同的波叠加形成的静止波形。驻波的波节和波腹位置固定，没有净能量传播。

*记法:* 也称为静止波

*例:* 入射波在弦的固定端反射后，与原波干涉形成驻波。

驻波的谐频取决于边界条件：固定边界形成波节，开放边界形成波腹。核心谐频公式如下：

- 两端固定长度为$L$的弦 / 两端开口的管：$\lambda_n = \frac{2L}{n}$, $n=1,2,3...$
- 一端封闭长度为$L$的管：$\lambda_n = \frac{4L}{n}$, $n=1,3,5...$（仅存在奇次谐波）

**例题:** 一根长1.2 m的一端封闭的管，基频为70 Hz。计算空气中的声速。

1. 基频是一次谐波，因此闭管的$n=1$：
2. $$\lambda_1 = \frac{4L}{n} = 4 \times 1.2 = 4.8 \text{ m}$$
3. 使用通用波方程 $v = f\lambda$：
4. $$v = 70 \times 4.8 = 336 \approx 340 \text{ m s}^{-1} \text{ (2 s.f.)}$$

## 单缝衍射

衍射描述了波穿过孔径时发生扩散的现象。宽度很窄的单缝会产生衍射图样，中心有一个宽而亮的主极大，两侧是更小更暗的次极大。当相消干涉抵消波的振动时就会出现极小。

**单缝衍射极小** — 第一极小（主极大的边缘）满足条件$b\sin\theta = \lambda$，其中$b$是缝宽，$\theta$是极小的角位置，$\lambda$是波长。小角度近似下$\sin\theta \approx \frac{y}{D}$，$y$是光屏上主极大中心到极小的距离，$D$是缝到光屏的距离。

**例题:** 波长550 nm的单色光入射到宽度为0.1 mm的单缝上，缝到光屏的距离为2.5 m。计算主极大的宽度。

1. 将所有单位转换为国际单位制：
2. $$\lambda = 550 \times 10^{-9} \text{ m}, \quad b = 0.1 \times 10^{-3} \text{ m}, \quad D = 2.5 \text{ m}$$
3. 使用小角度近似计算第一极小的角度：
4. $$\theta \approx \frac{\lambda}{b} = \frac{550 \times 10^{-9}}{0.1 \times 10^{-3}} = 5.5 \times 10^{-3} \text{ rad}$$
5. 主极大的宽度是中心到第一极小距离的两倍（$2y = 2D\theta$）：
6. $$2y = 2 \times 2.5 \times 5.5 \times 10^{-3} = 0.028 \text{ m} = 2.8 \text{ cm (2 s.f.)}$$

## 双波源干涉

两个相干波源会在远处光屏上产生稳定的干涉图样，由亮纹（相长干涉）和暗纹（相消干涉）组成。条纹间距取决于波长、缝间距和缝到光屏的距离。

**双波源干涉条件** — 间距为$d$的相干波源：当光程差 = $n\lambda$，$n=0,1,2...$时发生相长干涉（亮纹）；当光程差 = $(n+\frac{1}{2})\lambda$时发生相消干涉（暗纹）。相邻亮纹之间的间距为 $\Delta s = \frac{\lambda D}{d}$。

**例题:** 两个缝间距为0.2 mm，被波长600 nm的光照射，光屏距离缝3.0 m。求相邻亮纹的间距。

1. 转换为国际单位制：
2. $$d = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}, \quad \lambda = 600 \times 10^{-9} \text{ m}, \quad D = 3.0 \text{ m}$$
3. 代入条纹间距公式：
4. $$\Delta s = \frac{\lambda D}{d} = \frac{600 \times 10^{-9} \times 3.0}{0.2 \times 10^{-3}} = 9.0 \times 10^{-3} \text{ m} = 9.0 \text{ mm}$$

> **tip**
>
> 波长增大、光屏距离增大或缝间距减小时，条纹间距增大。这个关系经常在Paper 1的选择题中考察。

## 分辨率的瑞利判据

分辨率是成像系统区分两个相邻点光源为独立物体的能力。如果两个光源的衍射图样重叠过多，它们就会看起来是一个模糊的光源。

**瑞利判据** — 当一个光源衍射图样的主极大与另一个光源衍射图样的第一极小重合时，两个点光源刚好能被分辨。对于圆形孔径，最小可分辨角$\theta$（单位弧度）为 $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{b}$，其中$b$是孔径直径。

**例题:** 明亮环境下人眼的孔径直径为2 mm，估计对于波长550 nm的可见光，人眼能分辨的最小角间距。

1. 转换单位为国际单位制：
2. $$b = 2 \times 10^{-3} \text{ m}, \quad \lambda = 550 \times 10^{-9} \text{ m}$$
3. 应用圆形孔径的瑞利判据：
4. $$\theta = 1.22 \frac{550 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}} \approx 3.4 \times 10^{-4} \text{ radians}$$

> **warning**
>
> 1.22这个系数仅适用于圆形孔径，矩形单缝不需要这个系数。

## 常见错误

- **错误做法:** 对单缝分辨率使用1.22系数
  - 原因: 1.22系数仅适用于圆形孔径，不适用于矩形单缝
  - 正确做法: 非圆形孔径使用$\theta = \frac{\lambda}{b}$，不需要加1.22系数
- **错误做法:** 计算单缝衍射主极大总宽度时忘记将中心到极小的距离加倍
  - 原因: 公式给出的是主极大中心到第一极小的距离，不是两个外侧极小之间的距离
  - 正确做法: 将中心到第一极小的距离乘以2得到主极大总宽度
- **错误做法:** 对闭管使用开管波长公式$\lambda = 2L/n$
  - 原因: 闭管封闭端是波节，开口端是波腹，因此仅存在奇次谐波
  - 正确做法: 闭管使用$\lambda = 4L/n$，其中$n = 1, 3, 5...$
- **错误做法:** 在单缝和双缝公式中混淆$b$（缝宽）和$d$（缝间距）
  - 原因: 学生经常交换这两个变量，导致计算错误
  - 正确做法: 单缝的缝宽为$b$，双缝的缝间距为$d$；使用公式前始终确认你需要的变量
- **错误做法:** 认为驻波会沿着介质传递净能量
  - 原因: 驻波是静止的，因此没有净能量传播
  - 正确做法: 能量储存在波节之间，不会沿着驻波传播

## 速查表

| 概念 | 核心公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 驻波（弦/两端开口管） | $\lambda_n = 2L/n$, $n=1,2...$ | 固定端为波节 |
| 驻波（一端封闭管） | $\lambda_n = 4L/n$, $n=1,3...$ | 仅存在奇次谐波 |
| 单缝第一极小 | $b\sin\theta = \lambda$ | 中央宽度 = $2\lambda D / b$ |
| 双缝条纹间距 | $\Delta s = \lambda D / d$ | $d$ = 缝间距 |
| 瑞利（圆形孔径） | $\theta = 1.22 \lambda / b$ | 单缝不需要1.22 |

## 下一步

本小节构建的波动行为核心概念，是后续包括多普勒效应、薄膜干涉等内容的基础，这些内容会扩展你在这里学到的叠加、光程差和衍射原理。理解分辨率的瑞利判据也是IB物理HL选修主题中天文学和成像技术的基础。掌握这里的驻波、干涉和衍射知识，会让这些更高级的后续内容更直观，更容易解题。

- [C.4 驻波与共振](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-4-standing-waves-and/)
- [C.5 多普勒效应 (AHL)](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-5-doppler-effect/)
- [C.6 干涉 (AHL)](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-6-interference/)

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