C.2 行波

IB 物理 HL· 主题 C：波动行为，子主题 C.2· 25 分钟阅读

1. 行波基础★★☆☆☆⏱ 8 min

📘 定义

行波

在介质（电磁波可在真空中传播）中传播的扰动，将能量从一个点传递到另一个点，不发生净物质转移。

例:

穿过湖面的水波将能量传递到岸边，但不会把湖中心的水搬运到岸边。

所有行波根据粒子振动方向相对于波传播方向的关系，分为两大类型：

📘 定义

横波与纵波

横波的粒子振动方向垂直于波的传播方向；纵波的粒子振动方向平行于传播方向。

例:

横波：电磁波、拨动的吉他弦上的波；纵波：声波、弹簧中的压力波。

📐 例题

将下列波分类为横波或纵波：(a) 太阳发出的光，(b) 扬声器发出的声音，(c) 地震初级P波

1
回忆分类规则：横波的振动方向垂直于传播方向，纵波的振动方向平行于传播方向。
2
(a) 光是电磁波，其电场和磁场振动方向垂直于传播方向：这是
3
横波。
4
(b) 声音以空气压缩和稀疏交替的形式传播，粒子振动方向平行于传播方向：这是
5
纵波。
6
(c) 地震的初级P波是压缩波，振动方向平行于传播方向：这是
7
纵波。

Exam tip:

IB考试经常要求你在纵波示意图上标记压缩区和稀疏区：请务必清晰标记高密度区和低密度区。

2. 核心参数与基本波动方程★★☆☆☆⏱ 7 min

✓ 计算器

行波由四个核心参数描述，它们通过波动物理学中最常用的基本波动方程关联：

波长 $λ$ ：波上两个连续相同点之间的距离（单位：m）
周期 $T$ ：一个完整波经过固定点所需的时间（单位：s）
频率 $f = 1/ T$ ：每秒经过某点的完整波数量（单位：Hz）
波速 $v$ ：波传播的速度（单位：m s⁻¹）

v = f \

📐 例题

一束红色激光在真空中的波长为650 nm，真空中光速为 $3.00 \times 1 0^{8}$ m s⁻¹。计算该激光的频率。

1
整理基本波动方程求解频率：
2
$f = \frac{v}{\lambda}$
3
将波长转换为国际单位： $λ = 650 nm = 650 \times 1 0^{- 9} m$
4
代入数值：
5
$f = \frac{3.00 \times 10^8}{650 \times 10^{-9}} \approx 4.62 \times 10^{14} \text{ Hz}$

✓ 快速检测

检验你的理解：

一列波的频率为10 Hz，波长为2 m，其波速是多少？
- 5 m s⁻¹
- 10 m s⁻¹
- 20 m s⁻¹
- 0.2 m s⁻¹
显示答案
20 m s⁻¹ —
根据公式 $v = f λ = 10 \times 2 = 20$ m s⁻¹

3. 正弦行波的位移函数★★★☆☆⏱ 10 min

✓ 计算器

对于正弦行波，我们可以利用额外参数波数 $k = 2 π / λ$ 和角频率 $ω = 2 π f$ ，写出位置 $x$ 、时刻 $t$ 处粒子的位移函数。

📘 定义

行波的位移函数

$y (x, t)$

对于振幅为 $A$ 、初相位为 $ϕ$ 的波：沿+x方向传播的波： $y (x, t) = A sin (k x - ω t + ϕ)$ ；沿-x方向传播的波： $y (x, t) = A sin (k x + ω t + ϕ)$ 。

📐 例题

一列沿+x方向传播的正弦波，振幅为0.2 m，波长为4.0 m，频率为2.5 Hz，初相位为零。写出其位移函数。

1
计算波数 $k$ ：
2
$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{4.0} = 0.5\pi \text{ m}^{-1}$
3
计算角频率 $ω$ ：
4
$\omega = 2\pi f = 2\pi(2.5) = 5\pi \text{ rad s}^{-1}$
5
代入+x方向的形式， $A = 0.2$ ， $ϕ = 0$ ：
6
$y(x,t) = 0.2 \sin(0.5\pi x - 5\pi t)$

4. 能量传递与强度★★★☆☆⏱ 5 min

行波的核心作用是将能量从波源传递到周围空间。强度描述了波单位时间、单位面积携带的能量多少。

📘 定义

强度关系

强度 $I = P / A$ ，其中 $P$ 是功率， $A$ 是横截面积。对于在三维空间均匀传播的点波源，强度遵循平方反比定律 $I \propto 1/ r^{2}$ ， $r$ 是到波源的距离。强度还与振幅的平方成正比： $I \propto A^{2}$ 。

📐 例题

距离点波源1 m处，强度为200 W m⁻²，振幅为0.4 m。计算距离波源2 m处的强度，并求新的振幅。

1
对强度应用平方反比定律： $I_{1} / I_{2} = r_{2}^{2} / r_{1}^{2}$
2
$\frac{200}{I_2} = \frac{2^2}{1^2} = 4 \implies I_2 = 50 \text{ W m}^{-2}$
3
由 $I \propto A^{2}$ ，得 $A_{2} = A_{1} I_{2} / I_{1}$
4
$A_2 = 0.4 \sqrt{50/200} = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \text{ m}$

Exam tip:

考试经常要求你将强度与振幅、距离联系起来：请务必记住这两个比例关系，它们是高频考点。

5. 常见陷阱

错误做法:

混淆传播方向对应的相位项符号，认为 $(k x - ω t)$ 表示沿-x方向传播。

原因:

这个符号约定对很多学生来说不符合直觉，因此经常出错。

正确做法:

记住口诀：负号对应正x，正号对应负x（MiP-PoN）。

错误做法:

认为行波在传递能量的同时也传递物质。

原因:

水波或声波的演示容易让人误认为大量物质会随波移动。

正确做法:

行波仅传递能量；粒子只在平衡位置附近振动，没有净位移。

错误做法:

认为波在不同介质间传播时频率会改变，误以为 $v = f λ$ 意味着三个变量都会改变。

原因:

频率由波源决定，与介质无关。

正确做法:

波在不同介质间传播时频率保持不变；只有波速和波长会改变。

错误做法:

认为强度和振幅是线性关系，说强度加倍振幅也加倍。

原因:

很容易记错强度和振幅的比例关系。

正确做法:

强度与振幅的平方成正比，因此 $A_{2} = A_{1} I_{2} / I_{1}$ 。

6. 速查表

物理量	符号	关键关系	说明
波速	$v$	$v = f λ = ω / k$	给定介质中为定值
波长	$λ$	$λ = v / f = 2 π / k$	两个相同波点之间的距离
频率	$f$	$f = 1/ T = ω /2 π$	在不同介质中保持不变
波数	$k$	$k = 2 π / λ$	波的空间频率
+x方向传播的波	$y (x, t)$	$A sin (k x - ω t + ϕ)$	标准位移形式
-x方向传播的波	$y (x, t)$	$A sin (k x + ω t + ϕ)$	$k x$ 的符号相反
强度	$I$	$I \propto 1/ r^{2} \propto A^{2}$	点波源遵循平方反比定律

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

行波是IB物理HL所有后续波动主题的基础，你在这里学到的参数和关系将用于所有后续波动主题。下一个核心主题是驻波，驻波由两列相同的行波沿相反方向传播并叠加形成，产生静止的波动图样。掌握驻波后，你将学习更复杂的波动现象，包括干涉、衍射、折射和多普勒效应，所有这些内容在IB考试中占比很高，会出现在选择题和扩展回答题中。掌握本主题是在所有波动相关考题中拿满分的必要基础。