# C.2 行波

> IB 物理 HL · IB HL 物理 2025+
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-2-travelling-waves/

本子主题介绍行波，行波传递能量但不发生净物质转移。你将学习对行波分类、运用基本波动方程、写出位移函数以及计算行波强度。

**先修:** [简谐运动](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-t01-simple-harmonic-motion/)

## 学习目标

- 描述行波的核心性质
- 区分横波和纵波两种行波
- 运用基本波动方程求解未知波参数
- 写出正弦行波的位移函数
- 应用点波源的强度关系

## 行波基础

**行波** — 在介质（电磁波可在真空中传播）中传播的扰动，将能量从一个点传递到另一个点，不发生净物质转移。

*例:* 穿过湖面的水波将能量传递到岸边，但不会把湖中心的水搬运到岸边。

所有行波根据粒子振动方向相对于波传播方向的关系，分为两大类型：

**横波与纵波** — 横波的粒子振动方向垂直于波的传播方向；纵波的粒子振动方向平行于传播方向。

*例:* 横波：电磁波、拨动的吉他弦上的波；纵波：声波、弹簧中的压力波。

**例题:** 将下列波分类为横波或纵波：(a) 太阳发出的光，(b) 扬声器发出的声音，(c) 地震初级P波

1. 回忆分类规则：横波的振动方向垂直于传播方向，纵波的振动方向平行于传播方向。
2. (a) 光是电磁波，其电场和磁场振动方向垂直于传播方向：这是
3. 横波。
4. (b) 声音以空气压缩和稀疏交替的形式传播，粒子振动方向平行于传播方向：这是
5. 纵波。
6. (c) 地震的初级P波是压缩波，振动方向平行于传播方向：这是
7. 纵波。

> **考试提示:** IB考试经常要求你在纵波示意图上标记压缩区和稀疏区：请务必清晰标记高密度区和低密度区。

## 核心参数与基本波动方程

行波由四个核心参数描述，它们通过波动物理学中最常用的基本波动方程关联：

- 波长 $\lambda$：波上两个连续相同点之间的距离（单位：m）
- 周期 $T$：一个完整波经过固定点所需的时间（单位：s）
- 频率 $f = 1/T$：每秒经过某点的完整波数量（单位：Hz）
- 波速 $v$：波传播的速度（单位：m s⁻¹）

$$v = f \$$

**例题:** 一束红色激光在真空中的波长为650 nm，真空中光速为 $3.00 \times 10^8$ m s⁻¹。计算该激光的频率。

1. 整理基本波动方程求解频率：
2. $$f = \frac{v}{\lambda}$$
3. 将波长转换为国际单位：$\lambda = 650 \text{ nm} = 650 \times 10^{-9} \text{ m}$
4. 代入数值：
5. $$f = \frac{3.00 \times 10^8}{650 \times 10^{-9}} \approx 4.62 \times 10^{14} \text{ Hz}$$

**概念自测**

检验你的理解：

1. 一列波的频率为10 Hz，波长为2 m，其波速是多少？

   - 5 m s⁻¹
   - 10 m s⁻¹
   - 20 m s⁻¹
   - 0.2 m s⁻¹

   *解析:* 根据公式 $v = f\lambda = 10 \times 2 = 20$ m s⁻¹

*计算器:* allowed

## 正弦行波的位移函数

对于正弦行波，我们可以利用额外参数波数 $k = 2\pi/\lambda$ 和角频率 $\omega = 2\pi f$，写出位置$x$、时刻$t$处粒子的位移函数。

**行波的位移函数** — 对于振幅为$A$、初相位为$\phi$的波：沿+x方向传播的波：$y(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$；沿-x方向传播的波：$y(x,t) = A \sin(kx + \omega t + \phi)$。

*记法:* $y(x,t)$

> **符号记忆口诀**
>
> 正x方向用负号，负x方向用正号：用'MiP-PoN'记忆（Mi=负，P=正x；Po=正，N=负x）

**例题:** 一列沿+x方向传播的正弦波，振幅为0.2 m，波长为4.0 m，频率为2.5 Hz，初相位为零。写出其位移函数。

1. 计算波数 $k$：
2. $$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{4.0} = 0.5\pi \text{ m}^{-1}$$
3. 计算角频率 $\omega$：
4. $$\omega = 2\pi f = 2\pi(2.5) = 5\pi \text{ rad s}^{-1}$$
5. 代入+x方向的形式，$A=0.2$，$\phi=0$：
6. $$y(x,t) = 0.2 \sin(0.5\pi x - 5\pi t)$$

*计算器:* allowed

## 能量传递与强度

行波的核心作用是将能量从波源传递到周围空间。强度描述了波单位时间、单位面积携带的能量多少。

**强度关系** — 强度 $I = P/A$，其中$P$是功率，$A$是横截面积。对于在三维空间均匀传播的点波源，强度遵循平方反比定律 $I \propto 1/r^2$，$r$是到波源的距离。强度还与振幅的平方成正比：$I \propto A^2$。

**例题:** 距离点波源1 m处，强度为200 W m⁻²，振幅为0.4 m。计算距离波源2 m处的强度，并求新的振幅。

1. 对强度应用平方反比定律：$I_1/I_2 = r_2^2/r_1^2$
2. $$\frac{200}{I_2} = \frac{2^2}{1^2} = 4 \implies I_2 = 50 \text{ W m}^{-2}$$
3. 由 $I \propto A^2$，得 $A_2 = A_1 \sqrt{I_2/I_1}$
4. $$A_2 = 0.4 \sqrt{50/200} = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \text{ m}$$

> **考试提示:** 考试经常要求你将强度与振幅、距离联系起来：请务必记住这两个比例关系，它们是高频考点。

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆传播方向对应的相位项符号，认为$(kx - \omega t)$表示沿-x方向传播。
  - 原因: 这个符号约定对很多学生来说不符合直觉，因此经常出错。
  - 正确做法: 记住口诀：负号对应正x，正号对应负x（MiP-PoN）。
- **错误做法:** 认为行波在传递能量的同时也传递物质。
  - 原因: 水波或声波的演示容易让人误认为大量物质会随波移动。
  - 正确做法: 行波仅传递能量；粒子只在平衡位置附近振动，没有净位移。
- **错误做法:** 认为波在不同介质间传播时频率会改变，误以为$v = f\lambda$意味着三个变量都会改变。
  - 原因: 频率由波源决定，与介质无关。
  - 正确做法: 波在不同介质间传播时频率保持不变；只有波速和波长会改变。
- **错误做法:** 认为强度和振幅是线性关系，说强度加倍振幅也加倍。
  - 原因: 很容易记错强度和振幅的比例关系。
  - 正确做法: 强度与振幅的平方成正比，因此 $A_2 = A_1 \sqrt{I_2/I_1}$。

## 速查表

| 物理量 | 符号 | 关键关系 | 说明 |
| --- | --- | --- | --- |
| 波速 | $v$ | $v = f\lambda = \omega/k$ | 给定介质中为定值 |
| 波长 | $\lambda$ | $\lambda = v/f = 2\pi/k$ | 两个相同波点之间的距离 |
| 频率 | $f$ | $f = 1/T = \omega/2\pi$ | 在不同介质中保持不变 |
| 波数 | $k$ | $k = 2\pi/\lambda$ | 波的空间频率 |
| +x方向传播的波 | $y(x,t)$ | $A\sin(kx - \omega t + \phi)$ | 标准位移形式 |
| -x方向传播的波 | $y(x,t)$ | $A\sin(kx + \omega t + \phi)$ | $kx$的符号相反 |
| 强度 | $I$ | $I \propto 1/r^2 \propto A^2$ | 点波源遵循平方反比定律 |

## 下一步

行波是IB物理HL所有后续波动主题的基础，你在这里学到的参数和关系将用于所有后续波动主题。下一个核心主题是驻波，驻波由两列相同的行波沿相反方向传播并叠加形成，产生静止的波动图样。掌握驻波后，你将学习更复杂的波动现象，包括干涉、衍射、折射和多普勒效应，所有这些内容在IB考试中占比很高，会出现在选择题和扩展回答题中。掌握本主题是在所有波动相关考题中拿满分的必要基础。

- [C.5 多普勒效应](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-5-doppler-effect/)
- [C.3 波动现象](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-3-wave-phenomena/)
- [C.4 驻波与共振](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-4-standing-waves-and/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-2-travelling-waves/