C.1 简谐运动

IB 物理 HL· IB Physics 2025 Syllabus: Theme C.1· 15 分钟阅读

1. 简谐运动的定义★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

简谐运动 (SHM)

SHM

一种周期性运动，物体的加速度与它偏离平衡位置的位移成正比，且方向始终与位移方向相反。

例:

光滑水平弹簧上的物块、小角度摆动的单摆

这个定义是判断简谐运动的核心依据：任何不满足该关系的周期性运动都不是简谐运动。该关系的数学表达式为：

a = -\omega^2 x

📐 例题

某运动的加速度满足 $a = - 0.25 x$ 。判断它是否为简谐运动，并求出角频率。

1
对照简谐运动定义：加速度与位移成正比，且带有正确的负号，因此满足简谐运动的条件。
2
将给定方程与简谐运动的标准形式 $a = - ω^{2} x$ 对比：
3
$\omega^2 = 0.25$
4
求解角频率：
5
$\omega = \sqrt{0.25} = 0.5 \text{ rad s}^{-1}$

2. 简谐运动的运动学方程★★★☆☆⏱ 5 min

求解简谐运动微分方程后，可得到两种常见的位移-时间关系，具体形式取决于物体在 $t = 0$ 时刻的初始位置：

如果运动从最大位移 $x = A$ 处开始（ $t = 0$ ）： $x (t) = A cos (ω t)$
如果运动从平衡位置 $x = 0$ 处开始，且 $t = 0$ 时速度为正： $x (t) = A sin (ω t)$

速度和加速度可通过对位移求导得到。最大速度是 $v_{ma x} = ω A$ ，最大加速度是 $a_{ma x} = ω^{2} A$ 。

📐 例题

一个做简谐运动的物块振幅 $A = 0.2 m$ ，周期 $T = 2.0 s$ ， $t = 0$ 时它从最大正位移处开始运动。计算 $t = 0.5 s$ 时的位移和速度。

1
首先计算角频率：
2
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \text{ rad s}^{-1}$
3
使用从最大位移处开始运动的位移方程：
4
$x(0.5) = 0.2 \cos(\pi \times 0.5) = 0.2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \text{ m}$
5
对位移求导得到速度：
6
$v(t) = -A\omega \sin(\omega t)$
7
代入数值计算速度：
8
$v(0.5) = -0.2 \times \pi \times \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx -0.63 \text{ m s}^{-1}$

3. 无阻尼简谐运动中的能量★★☆☆☆⏱ 3 min

无阻尼简谐运动中不存在阻力，因此总机械能守恒。在一个完整振动周期内，能量在动能（KE）和势能（PE）之间不断转换。

📘 定义

无阻尼简谐运动

没有能量因阻力损耗的简谐运动，因此振幅随时间保持不变。

对于任意无阻尼简谐运动系统，总能量 $E_{t o t a l} = K E + P E = constant$ 。动能在平衡位置（ $x = 0$ ）最大，势能在最大位移处（ $x = \pm A$ ）最大。

📐 例题

一个0.5 kg的物块连接在弹簧上做简谐运动，振幅为0.1 m，角频率为4 rad s⁻¹。求物块的最大动能。

1
对于弹簧振子系统， $ω^{2} = k / m$ ，整理后求劲度系数 $k$ ：
2
$k = m \omega^2 = 0.5 \times (4)^2 = 8 \text{ N m}^{-1}$
3
最大动能等于总能量，也等于最大位移处的最大势能：
4
$KE_{max} = \frac{1}{2} k A^2 = 0.5 \times 8 \times (0.1)^2 = 0.04 \text{ J}$

4. 简谐运动的图像表示★★★☆☆⏱ 3 min

考试中常见的问题要求解读或绘制简谐运动物理量（位移、速度、加速度、能量）相对于时间或位移的图像。下表总结了关键的相位关系：

物理量	相对于 $x (t)$ 的相位	最大值
位移 $x$	0 rad	$A$
Velocity $v$	$+ π /2$ rad ahead	$ω A$
Acceleration $a$	$π$ rad out of phase	$ω^{2} A$

📐 例题

描述无阻尼简谐运动中动能随位移变化的图像形状。

1
利用能量守恒写出动能关于位移的表达式：
2
$KE(x) = E_{total} - PE(x) = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx^2$
3
这是一个开口向下的关于 $x$ 的二次函数。它在 $x = 0$ 处取得最大值 $\frac{1}{2} k A^{2}$ ，在 $x = \pm A$ 处等于零。
4
因此该图像是开口向下的抛物线，关于平衡位置 $x = 0$ 对称。

5. 常见陷阱

错误做法:

在简谐运动定义 $a = - ω^{2} x$ 中遗漏负号

原因:

负号定义了加速度的回复方向；没有负号的话，加速度会把物体推得离平衡位置更远。

正确做法:

书写简谐运动定义条件时，一定要带上负号。

错误做法:

当初始位置在最大位移处时，错误使用位移的正弦形式

原因:

初始条件决定了方程的形式；混淆会导致所有时刻的数值都错误。

正确做法:

检查 $t = 0$ 时的位置： $x = A$ 用余弦， $x = 0$ （初始速度为正）用正弦。

错误做法:

认为无阻尼简谐运动中总能量随位移变化

原因:

无阻尼简谐运动没有能量损耗，只有动能和势能之间的转换。

正确做法:

记住无阻尼简谐运动中总能量是恒定的。

错误做法:

混淆简谐运动的角频率 $ω$ 和圆周运动的角速度

原因:

虽然它们符号相同，但简谐运动的 $ω$ 描述的是振动快慢，而非转动快慢。

正确做法:

对于任何简谐运动，无论系统类型，都使用 $ω = 2 π / T$ 计算。

6. 速查表

概念	公式	要点
简谐运动定义	$a = - ω^{2} x$	加速度与负位移成正比
角频率	$ω = 2 π f = 2 π / T$	单位: rad s⁻¹
位移 (t=0 at x=A)	$x (t) = A cos (ω t)$	从最大位移处开始
位移 (t=0 at x=0)	$x (t) = A sin (ω t)$	从平衡位置开始
最大速度	$v_{ma x} = ω A$	出现在 $x = 0$
最大加速度	$a_{ma x} = ω^{2} A$	出现在 $x = \pm A$
总能量 (无阻尼)	$E_{t o t a l} = \frac{1}{2} k A^{2} = constant$	能量守恒

7. 常见问题

所有周期性运动都是简谐运动吗？

不是。只有满足 $a = - ω^{2} x$ 的周期性运动才是简谐运动。例如，匀速圆周运动是周期性运动，但不是简谐运动。

为什么初始条件对简谐运动方程很重要？

位移方程的形式（正弦还是余弦）取决于物体在 $t = 0$ 时的位置。选错形式会导致所有时刻的结果都错误。

真题中的出现

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简谐运动是主题C其余部分涵盖的所有波动行为的基础。掌握简谐运动概念是分析更复杂振动系统（包括阻尼振动和受迫振动），以及IB物理HL考试重点考察的所有行波现象的前提。很多考试题目会将简谐运动与能量守恒、运动学结合考查，因此在学习更高级主题前，熟练掌握核心定义和解题方法至关重要。