# C.1 简谐运动

> IB 物理 HL · 主题 C：波动行为
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-1-simple-harmonic-motion/

本小节介绍简谐运动（SHM）的核心性质，简谐运动是所有波动行为的基础概念。你将学习简谐运动系统的定义条件、运动学方程和能量变化规律。

**先修:** [IB 物理 HL 运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-kinematics/); [能量守恒定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-energy-conservation/); [圆周运动基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-circular-motion/)

## 学习目标

- 利用加速度-位移关系定义简谐运动（SHM）
- 应用简谐运动的运动学方程求解问题
- 分析无阻尼简谐运动中的能量转换
- 解读简谐运动各物理量的图像表示

## 简谐运动的定义

**简谐运动 (SHM)** — 一种周期性运动，物体的加速度与它偏离平衡位置的位移成正比，且方向始终与位移方向相反。

*记法:* SHM

*例:* 光滑水平弹簧上的物块、小角度摆动的单摆

这个定义是判断简谐运动的核心依据：任何不满足该关系的周期性运动都不是简谐运动。该关系的数学表达式为：

$$a = -\omega^2 x$$

> **info**
>
> 负号至关重要：它表明加速度始终是使物体回到平衡位置的回复加速度/回复力。

**例题:** 某运动的加速度满足 $a = -0.25x$。判断它是否为简谐运动，并求出角频率。

1. 对照简谐运动定义：加速度与位移成正比，且带有正确的负号，因此满足简谐运动的条件。
2. 将给定方程与简谐运动的标准形式 $a = -\omega^2 x$ 对比：
3. $$\omega^2 = 0.25$$
4. 求解角频率：
5. $$\omega = \sqrt{0.25} = 0.5 \text{ rad s}^{-1}$$

## 简谐运动的运动学方程

求解简谐运动微分方程后，可得到两种常见的位移-时间关系，具体形式取决于物体在 $t=0$ 时刻的初始位置：

1. 如果运动从最大位移 $x=A$ 处开始（$t=0$）： $x(t) = A \cos(\omega t)$
2. 如果运动从平衡位置 $x=0$ 处开始，且 $t=0$ 时速度为正： $x(t) = A \sin(\omega t)$

速度和加速度可通过对位移求导得到。最大速度是 $v_{max} = \omega A$，最大加速度是 $a_{max} = \omega^2 A$。

**例题:** 一个做简谐运动的物块振幅 $A = 0.2 \text{ m}$，周期 $T = 2.0 \text{ s}$，$t=0$ 时它从最大正位移处开始运动。计算 $t = 0.5 \text{ s}$ 时的位移和速度。

1. 首先计算角频率：
2. $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \text{ rad s}^{-1}$$
3. 使用从最大位移处开始运动的位移方程：
4. $$x(0.5) = 0.2 \cos(\pi \times 0.5) = 0.2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \text{ m}$$
5. 对位移求导得到速度：
6. $$v(t) = -A\omega \sin(\omega t)$$
7. 代入数值计算速度：
8. $$v(0.5) = -0.2 \times \pi \times \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx -0.63 \text{ m s}^{-1}$$

> **考试提示**
>
> 在选择位移的正弦或余弦形式前，一定要先检查 $t=0$ 时刻的初始位置。

## 无阻尼简谐运动中的能量

无阻尼简谐运动中不存在阻力，因此总机械能守恒。在一个完整振动周期内，能量在动能（KE）和势能（PE）之间不断转换。

**无阻尼简谐运动** — 没有能量因阻力损耗的简谐运动，因此振幅随时间保持不变。

对于任意无阻尼简谐运动系统，总能量 $E_{total} = KE + PE = \text{constant}$。动能在平衡位置（$x=0$）最大，势能在最大位移处（$x=\pm A$）最大。

**例题:** 一个0.5 kg的物块连接在弹簧上做简谐运动，振幅为0.1 m，角频率为4 rad s⁻¹。求物块的最大动能。

1. 对于弹簧振子系统，$\omega^2 = k/m$，整理后求劲度系数 $k$：
2. $$k = m \omega^2 = 0.5 \times (4)^2 = 8 \text{ N m}^{-1}$$
3. 最大动能等于总能量，也等于最大位移处的最大势能：
4. $$KE_{max} = \frac{1}{2} k A^2 = 0.5 \times 8 \times (0.1)^2 = 0.04 \text{ J}$$

## 简谐运动的图像表示

考试中常见的问题要求解读或绘制简谐运动物理量（位移、速度、加速度、能量）相对于时间或位移的图像。下表总结了关键的相位关系：

| 物理量 | 相对于 $x(t)$ 的相位 | 最大值 |
| --- | --- | --- |
| 位移 $x$ | 0 rad | $A$ |
| Velocity $v$ | $+\pi/2$ rad ahead | $\omega A$ |
| Acceleration $a$ | $\pi$ rad out of phase | $\omega^2 A$ |

**例题:** 描述无阻尼简谐运动中动能随位移变化的图像形状。

1. 利用能量守恒写出动能关于位移的表达式：
2. $$KE(x) = E_{total} - PE(x) = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{2}kx^2$$
3. 这是一个开口向下的关于 $x$ 的二次函数。它在 $x=0$ 处取得最大值 $\frac{1}{2}kA^2$，在 $x=\pm A$ 处等于零。
4. 因此该图像是开口向下的抛物线，关于平衡位置 $x=0$ 对称。

## 常见错误

- **错误做法:** 在简谐运动定义 $a = -\omega^2 x$ 中遗漏负号
  - 原因: 负号定义了加速度的回复方向；没有负号的话，加速度会把物体推得离平衡位置更远。
  - 正确做法: 书写简谐运动定义条件时，一定要带上负号。
- **错误做法:** 当初始位置在最大位移处时，错误使用位移的正弦形式
  - 原因: 初始条件决定了方程的形式；混淆会导致所有时刻的数值都错误。
  - 正确做法: 检查 $t=0$ 时的位置：$x=A$ 用余弦，$x=0$（初始速度为正）用正弦。
- **错误做法:** 认为无阻尼简谐运动中总能量随位移变化
  - 原因: 无阻尼简谐运动没有能量损耗，只有动能和势能之间的转换。
  - 正确做法: 记住无阻尼简谐运动中总能量是恒定的。
- **错误做法:** 混淆简谐运动的角频率 $\omega$ 和圆周运动的角速度
  - 原因: 虽然它们符号相同，但简谐运动的 $\omega$ 描述的是振动快慢，而非转动快慢。
  - 正确做法: 对于任何简谐运动，无论系统类型，都使用 $\omega = 2\pi / T$ 计算。

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 简谐运动定义 | $a = -\omega^2 x$ | 加速度与负位移成正比 |
| 角频率 | $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$ | 单位: rad s⁻¹ |
| 位移 (t=0 at x=A) | $x(t) = A \cos(\omega t)$ | 从最大位移处开始 |
| 位移 (t=0 at x=0) | $x(t) = A \sin(\omega t)$ | 从平衡位置开始 |
| 最大速度 | $v_{max} = \omega A$ | 出现在 $x=0$ |
| 最大加速度 | $a_{max} = \omega^2 A$ | 出现在 $x=\pm A$ |
| 总能量 (无阻尼) | $E_{total} = \frac{1}{2} k A^2 = \text{constant}$ | 能量守恒 |

## 下一步

简谐运动是主题C其余部分涵盖的所有波动行为的基础。掌握简谐运动概念是分析更复杂振动系统（包括阻尼振动和受迫振动），以及IB物理HL考试重点考察的所有行波现象的前提。很多考试题目会将简谐运动与能量守恒、运动学结合考查，因此在学习更高级主题前，熟练掌握核心定义和解题方法至关重要。

- [C.2 行波](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-2-travelling-waves/)
- [C.3 波动现象](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-3-wave-phenomena/)
- [C.4 驻波与共振](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u3-c-4-standing-waves-and/)

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