# B.6 电流的热效应与电池 (AHL)

> IB 物理 HL · IB 文凭课程物理（2025版大纲）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-b-6-heating-effect-of/

本AHL子主题探讨焦耳热（电流流动产生的功率耗散）以及真实电池的关键性质，包括内阻、路端电势差和电池类型。你将学习求解涉及真实电池的常见直流电路问题。

**先修:** [欧姆定律和基本直流电路规则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-b-5-electric-current-circuits/); [电势差和电能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-b-4-electric-fields-potential/)

## 学习目标

- 推导并应用电阻导体中功率耗散的表达式
- 将真实电池建模为理想电动势串联内阻的模型
- 计算带负载时电池的路端电势差
- 比较原电池和二次电池，并求解电池组合问题

## 焦耳热与功率耗散

**焦耳热** — 电流流过电阻导体时，运动载流子与原子晶格碰撞，将电能转化为热能的过程。

*记法:* 电流的热效应

**推导:** 推导欧姆电阻耗散功率的表达式

*起点:* 功率定义为单位时间内做的功：$P = \frac{\Delta W}{\Delta t}$

1. 将电荷$q$移动过电势差$V$所做的功为$\Delta W = qV$。电流定义为$I = \frac{q}{\Delta t}$，因此$q = I\Delta t$。
2. 代入功率公式得：
3. $$P = \frac{(I\Delta t V)}{\Delta t} = IV$$

*结论:* 结合欧姆定律$V = IR$，我们得到两个等价的功率表达式：$P = I^2 R = \frac{V^2}{R}$

**例题:** 一个6.0 Ω的电阻接在12 V的电池上，通有恒定电流。计算电阻中以热量形式耗散的功率。

1. 已知电阻两端电势差为12 V，因此可以简便地使用$P = \frac{V^2}{R}$计算：
2. $$P = \frac{(12)^2}{6.0} = \frac{144}{6} = 24 \text{ W}$$
3. 用$P = IV$交叉验证：先求得$I = \frac{V}{R} = \frac{12}{6} = 2 A$，因此$P = 12 \times 2 = 24 W$，结果一致。

> **warning**
>
> 恒定电流下，功率随电阻增大而增大；恒定电压下，功率随电阻增大而减小。选择功率公式前，一定要确认哪个物理量是恒定的。

*计算器:* allowed

## 真实电池的电动势与内阻

所有真实电池都存在内阻，来源于电池内部电解质和电极的电阻。我们将真实电池建模为理想电动势源$\varepsilon$串联内阻$r$的模型。

**电动势（emf）** — 电池提供的单位电荷总能量，等于无电流抽取（开路）时的路端电势差。

*记法:* $\varepsilon$

$$\varepsilon = V_{\text{terminal}} + Ir$$

**例题:** 一个电池的电动势为3.0 V，内阻为0.2 Ω，接在2.8 Ω的外电阻上。计算电路中的电流。

1. 串联电路的总电阻是外电阻$R$与内阻$r$之和：
2. $$R_{\text{total}} = R + r = 2.8 + 0.2 = 3.0 \text{ } \Omega$$
3. 对整个电路应用欧姆定律，将电动势作为总电势差：
4. $$I = \frac{\varepsilon}{R_{\text{total}}} = \frac{3.0}{3.0} = 1.0 \text{ A}$$

*计算器:* allowed

## 路端电势差

路端电势差$V$是接在电池上的外负载两端可获得的实际电势差。当有电流流动时，内阻上会耗散能量，因此$V < \varepsilon$。

$$V = \varepsilon - Ir = IR_{\text{load}}$$

**例题:** 对于上一个例子中的电池（$\varepsilon = 3.0$ V，$r = 0.2$ Ω，$R = 2.8$ Ω），计算路端电势差和内阻损耗的功率。

1. 我们已经求得$I = 1.0$ A，因此使用路端电势差公式：
2. $$V = \varepsilon - Ir = 3.0 - (1.0)(0.2) = 2.8 \text{ V}$$
3. 内阻损耗的功率由$P = I^2 r$计算：
4. $$P = (1.0)^2 (0.2) = 0.2 \text{ W}$$
5. 交叉验证：$V = IR = (1.0)(2.8) = 2.8$ V，与我们的结果一致。

> **tip**
>
> 实验测量内阻的方法：测量不同电流下的路端电势差，绘制$V$对$I$的图线，图线的斜率为$-r$，y轴截距为$\varepsilon$。

*计算器:* allowed

## 电池类型与组合

**原电池与二次电池** — 原电池不可充电：其化学反应不可逆，电量耗尽后即废弃。二次电池可充电：其化学反应可通过通入反向电流逆转，恢复电池容量。

*例:* 原电池：碱性干电池；二次电池：锂离子电池、铅酸汽车电池

- **n个相同电池串联：** 总电动势$= n\varepsilon$，总内阻$= nr$（用于获得更高的总电动势）
- **n个相同电池并联：** 总电动势$= \varepsilon$，总内阻$= \frac{r}{n}$（用于降低总内阻，提供更大电流）

**例题:** 三个相同电池（每个电动势$\varepsilon = 2.0$ V，内阻$r = 0.6$ Ω）并联后接在0.1 Ω的外电阻上，计算外负载的总电流。

1. 对于并联的相同电池，总电动势等于单个电池的电动势，总内阻为单个内阻除以电池数量：
2. $$\varepsilon_{\text{total}} = 2.0 \text{ V}, \quad r_{\text{total}} = \frac{0.6}{3} = 0.2 \text{ } \Omega$$
3. 总电阻为内阻与外电阻之和：
4. $$R_{\text{total}} = 0.2 + 0.1 = 0.3 \text{ } \Omega$$
5. 计算总电流：
6. $$I = \frac{\varepsilon_{\text{total}}}{R_{\text{total}}} = \frac{2.0}{0.3} \approx 6.7 \text{ A}$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 认为电阻越大，耗散功率一定越大
  - 原因: 电阻和功率的关系取决于电流还是电压恒定。$P = I^2 R$适用于恒定电流，$P = V^2/R$适用于恒定电压。
  - 正确做法: 先确认哪个物理量恒定，再选择合适的功率公式。
- **错误做法:** 将电动势视为一种力，且认为有电流流动时电动势等于路端电势差
  - 原因: '电动势'这个名称具有误导性。电动势是单位电荷的能量（单位为伏特），仅在无电流抽取时等于路端电势差。
  - 正确做法: 记住：$V = \varepsilon - Ir$，因此当有电流流过电池时，路端电势差总是小于电动势。
- **错误做法:** 将并联相同电池的电动势相加得到总电动势
  - 原因: 相同电池并联不会增加总电动势，只会降低总内阻。
  - 正确做法: n个相同电池并联时，总电动势等于单个电池的电动势，总内阻为$r/n$。
- **错误做法:** 计算真实电池的电流时忽略内阻
  - 原因: 所有真实电池都有非零内阻，内阻会影响电路总电阻，大电流时尤其明显。
  - 正确做法: 计算真实电池的总电流时，一定要将内阻和外电阻相加。

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 通用功率耗散 | $P = IV$ | 对任何导体都成立 |
| 欧姆电阻的功率 | $P = I^2 R = V^2/R$ | 根据恒定物理量选择 |
| 真实电池公式 | $\varepsilon = V + Ir$ | 理想电动势串联内阻 |
| 路端电势差 | $V = \varepsilon - Ir$ | $I>0$时$V < \varepsilon$ |
| n个相同电池串联 | $\varepsilon_{\text{total}} = n\varepsilon, r_{\text{total}} = nr$ | 总电动势更高 |
| n个相同电池并联 | $\varepsilon_{\text{total}} = \varepsilon, r_{\text{total}} = r/n$ | 总内阻更低 |

## 下一步

本子主题是IB物理HL中所有高阶电路和能量转移概念的AHL基础内容。理解内阻和功率耗散对于求解电磁感应、交流电路和可再生能源系统的问题至关重要。它也是IB物理内部评估（IA）实践探究最常见的主题之一，因此掌握这些计算对你的IA有帮助。接下来，你将探索电流的磁效应，该内容直接建立在你对电路中电流和能量的理解之上。

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