# B.3 气体动理论

> IB 物理高级水平 (HL) · IB 物理 2025+ 首次评估
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-b-3-kinetic-theory-of/

本小节在理想气体定律的基础上，建立气体行为的微观粒子模型。你将学习把分子运动与压强、温度等宏观性质联系起来，并利用动理论计算分子的平均速率。

**先修:** [理想气体定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-b-2-ideal-gases/); [基础牛顿力学动量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-mechanics-momentum/)

## 学习目标

- 陈述理想气体动理论模型的核心假设
- 从基本原理推导动理论物态方程
- 将绝对温度与平均分子动能联系起来
- 计算气体分子的方均根速率

## 1. 动理论模型的核心假设

动理论将理想气体建模为遵循牛顿力学运动的大量微小粒子集合。该模型依赖五个关键简化假设，这些假设在低压高温条件下对实际气体近似成立。

**理想气体（动理论模型）** — 满足动理论所有核心假设，且在任何条件下都遵循理想气体定律 $pV = nRT$ 的气体。

*例:* 室温常压下的氦气非常接近理想气体。

- 分子数量很大，因此统计平均有效。
- 单个分子的体积远小于气体的总体积，可忽略不计。
- 分子在碰撞之间做匀速随机运动。
- 所有碰撞（分子之间以及分子与容器壁之间）都是完全弹性碰撞。
- 除碰撞瞬间外，分子之间不存在分子间作用力。

> **note**
>
> 这五个假设经常在卷一和卷二的1-2分简答题中考查，你必须能够全部回忆出来。

> **考试提示:** 实际气体偏离理想气体行为的原因总是与这些假设不成立有关：高压下分子体积不可忽略，低温下分子间作用力不可忽略。

## 2. 动理论方程的推导

我们可以通过分析立方体容器中分子与器壁的碰撞，推导出联系压强、体积和分子速率的方程。完整推导是常见的5-6分考题，因此你需要记住每一个步骤。

**推导:** 推导理想气体的动理论物态方程

*起点:* 碰撞分子的牛顿运动定律

1. 考虑一个质量为 $m_0$ 的分子沿x轴以速率 $v_x$ 向边长为 $L$ 的容器壁运动。弹性碰撞后，分子的动量变化为：
2. $$\Delta p_{\text{molecule}} = -m_0 v_x - m_0 v_x = -2m_0 v_x$$
3. 根据牛顿第三定律，传递给器壁的动量是 $+2m_0 v_x$。分子与同一器壁连续两次碰撞的时间间隔为：
4. $$\Delta t = \frac{2L}{v_x}$$
5. 力是动量的变化率，因此单个分子对器壁的作用力为：
6. $$F_1 = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2m_0 v_x}{2L / v_x} = \frac{m_0 v_x^2}{L}$$
7. 对所有 $N$ 个分子求和，利用对称性： $\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle = \frac{1}{3}\langle v^2 \rangle$。
8. 压强 $p = F/A$，其中 $A = L^2$，容器总体积 $V = L^3$。代入后得到：

*结论:* pV = \frac{1}{3} N m_0 \langle v^2 \rangle

**考试命令词**

本主题常见的指令术语有明确的考试要求：

- **Derive** — 你必须展示从基本原理出发的所有步骤 *(你不能省略对称性论证或动量步骤，否则无法获得满分)*

- **State** — 只需写出最终方程，不需要推导过程

## 3. 温度与平均分子动能

我们可以将动理论方程与理想气体定律结合，得到温度与气体分子动能之间的基本关系。

**例题:** 证明理想气体分子的平均动能为 $\frac{3}{2}k_B T$。

1. 首先用玻尔兹曼常量 $k_B$ 写出动理论方程和理想气体定律（其中 $R = N_A k_B$，$N = n N_A$）：
2. $$pV = \frac{1}{3} N m_0 \langle v^2 \rangle \quad \text{and} \quad pV = N k_B T$$
3. 令两个 $pV$ 的表达式相等，约去公共项 $N$：
4. $$k_B T = \frac{1}{3} m_0 \langle v^2 \rangle$$
5. 整理得到平均动能 $\langle E_k \rangle = \frac{1}{2} m_0 \langle v^2 \rangle$：
6. $$\langle E_k \rangle = \frac{1}{2} m_0 \langle v^2 \rangle = \frac{3}{2} k_B T$$

这是动理论最重要的结论之一：它证明了绝对温度是理想气体分子平均无规则动能的直接量度。

**概念自测**

测试你的理解：

1. 两种不同的理想气体温度相同，下列哪项说法正确？

   - 两种气体的分子平均速率相同
   - 两种气体的分子平均动能相同
   - 两种气体的分子方均根速率相同
   - 两种气体的分子质量相同

   *答案:* 两种气体的分子平均动能相同

   *解析:* 正确！相同的绝对温度意味着每个分子的平均动能相等，与气体种类无关。相同温度下，质量更大的分子平均速率更低。

## 4. 方均根速率的计算

**方均根（rms）速率** — 一种方便的统计量，用于表示气体中分子的平均速率，由单个分子速率平方的平均值开平方得到。

*记法:* v_{\text{rms}} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}

**例题:** 计算20°C下氮分子的方均根速率，已知摩尔质量 $M = 0.028 \text{ kg mol}^{-1}$ 和 $R = 8.31 \text{ J mol}^{-1} \text{K}^{-1}$。

1. 首先将温度转换为开尔文：
2. $$T = 20 + 273 = 293 \text{ K}$$
3. 整理动理论方程，得到用摩尔质量 $M = N_A m_0$ 表示的 $v_{\text{rms}}$：
4. $$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$
5. 代入数值计算：
6. $$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.31 \times 293}{0.028}} \approx 510 \text{ m s}^{-1}$$

方均根速率与温度的平方根成正比，与摩尔质量的平方根成反比。因此相同温度下，更轻的气体分子平均速率高得多。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 声称给定温度下气体中所有分子速率都相同
  - 原因: 动理论只确定了平均动能，单个分子的速率分布范围很广
  - 正确做法: 指出对于给定气体，平均动能（因此平均方均根速率）由温度确定
- **错误做法:** 计算中使用摄氏温度而非开尔文温度
  - 原因: 所有动理论方程都依赖绝对（开尔文）温度，使用摄氏温度会得到完全错误的结果
  - 正确做法: 代入动理论公式前，始终给摄氏温度加273转换为开尔文
- **错误做法:** 使用摩尔质量单位 $\text{g mol}^{-1}$ 而非 $\text{kg mol}^{-1}$
  - 原因: 能量和质量的国际单位制要求用千克，因此该错误会得到比正确值小约30倍的结果
  - 正确做法: 计算前将摩尔质量除以1000，转换为 $\text{kg mol}^{-1}$ 单位
- **错误做法:** 声称温度与气体的总动能成正比
  - 原因: 温度与单个分子的平均动能成正比，而非总动能。更大体积的气体总动能更高，但温度可以相同
  - 正确做法: 记住温度与单个分子的平均动能成正比，而非整个样品的总动能

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 要点说明 |
| --- | --- | --- |
| 动理论方程 | $pV = \frac{1}{3}Nm_0 \langle v^2 \rangle$ | N = 分子总数 |
| 单个分子平均动能 | $\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}k_B T$ | 相同温度下所有气体都相等 |
| 方均根速率 | $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ | M = 摩尔质量，单位为kg mol⁻¹ |
| 核心假设 | 5个关键假设 | 常见1-2分考题 |

## 下一步

气体动理论是IB HL所有热物理主题的微观基础，它将单个粒子的无规则运动与你实验测量的压强、温度等宏观性质联系起来。你在这里学习的概念将在学习麦克斯韦-玻尔兹曼分子速率分布时得到延伸，也是后续课程中理解热力学、熵和相变的基础。动理论方程的推导和方均根速率计算经常在卷二的长答题中考查，因此练习这些技能非常重要。

- [B.4 质量、能量与物质结构](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-b-4-mass-energy-and/)
- [B.5 电流与电路（AHL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-b-5-current-and-electric/)
- [B.6 电流的热效应与电池 (AHL)](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-b-6-heating-effect-of/)

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