A.6 圆周运动与万有引力（AHL）

IB 物理 HL· IB Physics HL Topic A: A.6 AHL· 20 分钟阅读

1. 匀速圆周运动动力学★★★☆☆⏱ 5 min

📘 定义

匀速圆周运动（UCM）

UCM

物体沿固定半径圆形路径以恒定速率运动的运动。速率恒定，但速度方向不断变化，因此加速度不为零。

例:

一辆汽车以恒定30 km/h通过圆形弯道

匀速圆周运动中的加速度始终指向圆心，称为向心加速度。其大小为：

a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

根据牛顿第二定律，产生这个加速度的合外力（即向心力）也指向圆心，大小为：

F_c = m a_c = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r

📐 例题

一辆质量为1000 kg的汽车以恒定速率15 m s⁻¹通过半径为50 m的圆形弯道。计算所需向心力，并说明向心力的来源。

1
写出向心力公式：
2
$F_c = \frac{m v^2}{r}$
3
代入已知数值：
4
$F_c = \frac{1000 \times 15^2}{50} = \frac{225000}{50} = 4500 \text{ N}$
5
说明力的来源：汽车轮胎与路面之间的摩擦力提供向心力。

Exam tip:

向心力是指向圆心的合外力，不是一种独立的力。千万不要在受力分析图中将其作为额外力添加。

2. 牛顿万有引力定律★★★☆☆⏱ 5 min

📘 定义

牛顿万有引力定律

任何两个物体都相互吸引，引力大小与两物体质量的乘积成正比，与两物体质心间距的平方成反比。

例:

太阳与地球之间的引力，你与地球之间的引力

F = G \frac{M m}{r^2}

其中 $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} kg^{- 2}$ 是万有引力常量， $r$ 是两个物体的质心间距。对于球形物体，该公式可直接使用。

📐 例题

计算地球（ $M = 5.97 \times 1 0^{24} kg$ ）与站在地球表面、质量为70 kg的人之间的万有引力（地球半径 $r = 6.37 \times 1 0^{6} m$ ）。

1
将数值代入万有引力公式：
2
$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{(5.97 \times 10^{24})(70)}{(6.37 \times 10^6)^2}$
3
计算分子和分母：
4
$F ≈ \frac{2.79 \times 10^{16}}{4.06 \times 10^{13}} ≈ 687 \text{ N}$
5
结果与预期的体重约~ $70 g$ 一致，验证了该公式适用于行星表面的物体。

3. 开普勒行星运动定律★★★★☆⏱ 5 min

在牛顿提出引力理论之前，开普勒就总结出了描述行星运动的三条经验定律。牛顿后来证明这些定律直接由万有引力推导得出：

轨道定律：所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
面积定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
周期定律：行星轨道周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。

对于圆轨道，半长轴 $a = r$ （即轨道半径），开普勒第三定律可写为：

T^2 = \left( \frac{4 \pi^2}{G M} \right) r^3

📐 例题

地球的轨道周期为1年，半长轴为1天文单位（AU）。火星的半长轴为1.52 AU，计算火星的轨道周期。

1
对于绕同一中心天体运动的物体， $T^{2} / a^{3}$ 为常量：
2
$\frac{T_E^2}{a_E^3} = \frac{T_M^2}{a_M^3}$
3
整理得 $T_{M}$ ：
4
$T_M = T_E \sqrt{\left( \frac{a_M}{a_E} \right)^3}$
5
代入数值：
6
$T_M = 1 \times \sqrt{(1.52)^3} ≈ 1.87 \text{ 年}$

Exam tip:

只有当两个物体绕同一中心天体运动时，才能使用 $T^{2} / a^{3} = constant$ 这个比例关系。比例常量取决于中心天体质量，因此中心天体不同时该常量不同。

4. 轨道运动与逃逸速度★★★★☆HL 专属⏱ 5 min

对于做圆周轨道运动的卫星，万有引力提供维持轨道所需的向心力。我们可以通过这个等式直接推导轨道速率：

🔬 推导

目标:

推导圆轨道的轨道速率

起点:

万有引力 = 向心力

1
写出两个力的等式：
2
$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$
3
两边消去 $m$ 和一个 $r$ ：
4
$v^2 = \frac{G M}{r}$
5
整理得 $v$ ：

结果:

$v = \frac{GM}{r}$ : 轨道速率仅取决于中心天体质量和轨道半径，与卫星质量无关。

逃逸速度是物体脱离行星引力、到达无穷远处时剩余动能为零所需的最小速度。通过能量守恒推导得：

v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

📐 例题

计算从地球表面出发的逃逸速度，已知 $M_{E} = 5.97 \times 1 0^{24} kg$ , $R_{E} = 6.37 \times 1 0^{6} m$ .

1
代入逃逸速度公式：
2
$v_{esc} = \sqrt{\frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{6.37 \times 10^6}}$
3
计算根号内的数值：
4
$v_{esc} ≈ \sqrt{1.25 \times 10^8} ≈ 11200 \text{ m s}^{-1} = 11.2 \text{ km s}^{-1}$

5. 常见陷阱

错误做法:

在受力分析图中将向心力当作额外的独立力。

原因:

向心力是指向圆心的合外力，由重力、摩擦力或拉力等真实力提供。

正确做法:

先标出所有真实力，再将指向圆心的分量合成为向心力。

错误做法:

对绕不同恒星运动的行星使用 $T^{2} / a^{3} = constant$ 比例关系。

原因:

比例常量取决于中心天体的质量，因此中心天体改变时该常量也会改变。

正确做法:

仅对绕同一中心天体运动的物体使用该比例，否则请使用完整公式 $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} a^{3}$ 。

错误做法:

在引力计算中使用物体距行星表面的高度，而非距行星质心的距离。

原因:

牛顿万有引力定律使用的是两个物体质心之间的距离，不是距表面的高度。

正确做法:

始终将行星半径加上物体距表面的高度，得到总距离 $r$ 。

错误做法:

认为轨道上的物体失重是因为重力不作用在它们身上。

原因:

重力仍然作用在轨道物体上，并且为轨道运动提供向心力。

正确做法:

失重是表观失重：物体和其参考系都处于自由下落状态。

错误做法:

混淆轨道速率和逃逸速度，使用错误公式。

原因:

轨道速率适用于稳定圆轨道，逃逸速度适用于完全脱离引力场。

正确做法:

记住同一半径处 $v_{esc} = 2 v_{or bi t}$ 。

6. 速查表

概念	公式	要点
向心加速度	$a_{c} = \frac{v ^{2}}{r} = ω^{2} r$	始终指向圆心
向心力	$F_{c} = \frac{m v ^{2}}{r}$	是合外力，不是额外力
万有引力	$F = G \frac{M m}{r ^{2}}$	r = 质心间距
开普勒第三定律（圆轨道）	$T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3}$	M = 中心天体质量
轨道速率	$v = \frac{GM}{r}$	与卫星质量无关
逃逸速度	$v_{esc} = \frac{2 GM}{R}$	R = 行星半径

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · Paper 1
两物体之间的万有引力
2024 · Paper 2
地球静止卫星的轨道速率
2023 · Paper 1
开普勒第三定律的应用

下一步

本子主题是IB物理HL中进阶引力概念和天体物理学的基础。它直接关联引力场理论，在那里你将扩展这些概念，计算延伸物体周围的引力势和场强。理解圆周运动动力学对课程后续的转动运动和简谐运动也至关重要。轨道速率和开普勒第三定律的推导是考试常见题型，因此掌握这里的推导步骤能帮你轻松拿分。