# A.6 圆周运动与万有引力（AHL）

> IB 物理 HL · 主题 A：空间、时间与运动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-6-circular-motion-and/

本AHL子主题涵盖IB物理HL的匀速圆周运动动力学、牛顿万有引力定律、开普勒行星定律，及其在轨道运动、卫星运动和逃逸速度中的应用。

**先修:** [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-newtons-laws/); [功和能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-work-energy/)

## 学习目标

- 计算匀速圆周运动的向心加速度和向心力
- 将牛顿万有引力定律应用于相互作用的质量物体
- 表述并运用开普勒行星运动三大定律解决问题
- 推导轨道速率和逃逸速度的表达式
- 解决涉及卫星和行星轨道运动的问题

## 匀速圆周运动动力学

**匀速圆周运动（UCM）** — 物体沿固定半径圆形路径以恒定速率运动的运动。速率恒定，但速度方向不断变化，因此加速度不为零。

*记法:* UCM

*例:* 一辆汽车以恒定30 km/h通过圆形弯道

匀速圆周运动中的加速度始终指向圆心，称为向心加速度。其大小为：

$$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$

根据牛顿第二定律，产生这个加速度的合外力（即向心力）也指向圆心，大小为：

$$F_c = m a_c = \frac{m v^2}{r} = m \omega^2 r$$

**例题:** 一辆质量为1000 kg的汽车以恒定速率15 m s⁻¹通过半径为50 m的圆形弯道。计算所需向心力，并说明向心力的来源。

1. 写出向心力公式：
2. $$F_c = \frac{m v^2}{r}$$
3. 代入已知数值：
4. $$F_c = \frac{1000 \times 15^2}{50} = \frac{225000}{50} = 4500 \text{ N}$$
5. 说明力的来源：汽车轮胎与路面之间的摩擦力提供向心力。

> **考试提示:** 向心力是指向圆心的合外力，不是一种独立的力。千万不要在受力分析图中将其作为额外力添加。

## 牛顿万有引力定律

**牛顿万有引力定律** — 任何两个物体都相互吸引，引力大小与两物体质量的乘积成正比，与两物体质心间距的平方成反比。

*例:* 太阳与地球之间的引力，你与地球之间的引力

$$F = G \frac{M m}{r^2}$$

其中 $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ 是万有引力常量，$r$ 是两个物体的质心间距。对于球形物体，该公式可直接使用。

> **info**
>
> 引力是相互的：地球对你的引力大小等于你对地球的引力大小，符合牛顿第三定律。

**例题:** 计算地球（$M = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$）与站在地球表面、质量为70 kg的人之间的万有引力（地球半径 $r = 6.37 \times 10^6 \text{ m}$）。

1. 将数值代入万有引力公式：
2. $$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{(5.97 \times 10^{24})(70)}{(6.37 \times 10^6)^2}$$
3. 计算分子和分母：
4. $$F ≈ \frac{2.79 \times 10^{16}}{4.06 \times 10^{13}} ≈ 687 \text{ N}$$
5. 结果与预期的体重约~$70g$一致，验证了该公式适用于行星表面的物体。

## 开普勒行星运动定律

在牛顿提出引力理论之前，开普勒就总结出了描述行星运动的三条经验定律。牛顿后来证明这些定律直接由万有引力推导得出：

1. **轨道定律**：所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
2. **面积定律**：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
3. **周期定律**：行星轨道周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。

对于圆轨道，半长轴 $a = r$（即轨道半径），开普勒第三定律可写为：

$$T^2 = \left( \frac{4 \pi^2}{G M} \right) r^3$$

**例题:** 地球的轨道周期为1年，半长轴为1天文单位（AU）。火星的半长轴为1.52 AU，计算火星的轨道周期。

1. 对于绕同一中心天体运动的物体，$T^2/a^3$ 为常量：
2. $$\frac{T_E^2}{a_E^3} = \frac{T_M^2}{a_M^3}$$
3. 整理得 $T_M$：
4. $$T_M = T_E \sqrt{\left( \frac{a_M}{a_E} \right)^3}$$
5. 代入数值：
6. $$T_M = 1 \times \sqrt{(1.52)^3} ≈ 1.87 \text{ 年}$$

> **考试提示:** 只有当两个物体绕同一中心天体运动时，才能使用 $T^2/a^3 = \text{constant}$ 这个比例关系。比例常量取决于中心天体质量，因此中心天体不同时该常量不同。

## 轨道运动与逃逸速度

对于做圆周轨道运动的卫星，万有引力提供维持轨道所需的向心力。我们可以通过这个等式直接推导轨道速率：

**推导:** 推导圆轨道的轨道速率

*起点:* 万有引力 = 向心力

1. 写出两个力的等式：
2. $$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$$
3. 两边消去 $m$ 和一个 $r$：
4. $$v^2 = \frac{G M}{r}$$
5. 整理得 $v$：

*结论:* $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$: 轨道速率仅取决于中心天体质量和轨道半径，与卫星质量无关。

逃逸速度是物体脱离行星引力、到达无穷远处时剩余动能为零所需的最小速度。通过能量守恒推导得：

$$v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$$

**例题:** 计算从地球表面出发的逃逸速度，已知 $M_E = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$, $R_E = 6.37 \times 10^6 \text{ m}$.

1. 代入逃逸速度公式：
2. $$v_{esc} = \sqrt{\frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{6.37 \times 10^6}}$$
3. 计算根号内的数值：
4. $$v_{esc} ≈ \sqrt{1.25 \times 10^8} ≈ 11200 \text{ m s}^{-1} = 11.2 \text{ km s}^{-1}$$

> **tip**
>
> 同一半径处，逃逸速度是轨道速率的 $\sqrt{2}$ 倍，这是解答选择题时非常实用的关系。

## 常见错误

- **错误做法:** 在受力分析图中将向心力当作额外的独立力。
  - 原因: 向心力是指向圆心的合外力，由重力、摩擦力或拉力等真实力提供。
  - 正确做法: 先标出所有真实力，再将指向圆心的分量合成为向心力。
- **错误做法:** 对绕不同恒星运动的行星使用 $T^2/a^3 = \text{constant}$ 比例关系。
  - 原因: 比例常量取决于中心天体的质量，因此中心天体改变时该常量也会改变。
  - 正确做法: 仅对绕同一中心天体运动的物体使用该比例，否则请使用完整公式 $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3$。
- **错误做法:** 在引力计算中使用物体距行星表面的高度，而非距行星质心的距离。
  - 原因: 牛顿万有引力定律使用的是两个物体质心之间的距离，不是距表面的高度。
  - 正确做法: 始终将行星半径加上物体距表面的高度，得到总距离 $r$。
- **错误做法:** 认为轨道上的物体失重是因为重力不作用在它们身上。
  - 原因: 重力仍然作用在轨道物体上，并且为轨道运动提供向心力。
  - 正确做法: 失重是表观失重：物体和其参考系都处于自由下落状态。
- **错误做法:** 混淆轨道速率和逃逸速度，使用错误公式。
  - 原因: 轨道速率适用于稳定圆轨道，逃逸速度适用于完全脱离引力场。
  - 正确做法: 记住同一半径处 $v_{esc} = \sqrt{2} v_{orbit}$。

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 向心加速度 | $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$ | 始终指向圆心 |
| 向心力 | $F_c = \frac{mv^2}{r}$ | 是合外力，不是额外力 |
| 万有引力 | $F = G\frac{Mm}{r^2}$ | r = 质心间距 |
| 开普勒第三定律（圆轨道） | $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$ | M = 中心天体质量 |
| 轨道速率 | $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ | 与卫星质量无关 |
| 逃逸速度 | $v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ | R = 行星半径 |

## 下一步

本子主题是IB物理HL中进阶引力概念和天体物理学的基础。它直接关联引力场理论，在那里你将扩展这些概念，计算延伸物体周围的引力势和场强。理解圆周运动动力学对课程后续的转动运动和简谐运动也至关重要。轨道速率和开普勒第三定律的推导是考试常见题型，因此掌握这里的推导步骤能帮你轻松拿分。

- [主题B：物质的微粒性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-overview/)
- [B.1 温度与热能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-b-1-temperature-and-thermal/)
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