A.5 狭义相对论：能量与动量 (AHL)

IB 物理 HL· 主题A：空间、时间与运动，A.5 AHL· 45 分钟阅读

1. 相对论动量★★★☆☆HL 专属⏱ 10 min

📘 定义

相对论动量

$p = γ m_{0} v$

经过修正的速度为 $v$ 的粒子动量表达式，保证动量守恒在所有惯性参考系中成立。

例:

当 $v ≪ c$ 时， $γ \approx 1$ ，因此 $p \approx m_{0} v$ ，与经典定义一致。

动量的经典定义无法在相对论粒子碰撞中保持守恒。在定义中加入洛伦兹因子解决了这个问题，并且正确表明当 $v$ 趋近于 $c$ 时，动量趋近于无穷大，因此有质量粒子无法达到光速。

📐 例题

一个质子（静质量 $m_{0} = 1.67 \times 1 0^{- 27}$ kg）相对于实验室观察者以 $v = 0.8 c$ 运动。计算它的相对论动量。

1
首先计算洛伦兹因子 $γ$ ：
2
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{1}{0.6} \approx 1.67$
3
代入相对论动量公式：
4
$p = \gamma m_0 v = 1.67 \times (1.67 \times 10^{-27}) \times (0.8 \times 3 \times 10^8) \approx 6.7 \times 10^{-19} \text{ kg m s}^{-1}$

Exam tip:

IB不使用相对论质量惯例；所有公式中请始终使用静质量 $m_{0}$ 。

2. 总能量与静能★★★☆☆HL 专属⏱ 10 min

📘 定义

静能

$E_{0} = m_{0} c^{2}$

即使粒子相对于观察者静止，粒子由于其静质量本身具有的固有能量。

运动粒子的总相对论能量是其静能与相对论动能之和。总能量、动量和静质量之间的核心不变量关系在所有惯性系中都成立，因此对解题非常有用。

E^2 = (p c)^2 + (m_0 c^2)^2

📐 例题

求上一个例子中质子的相对论动能（ $v = 0.8 c$ ， $m_{0} = 1.67 \times 1 0^{- 27}$ kg），并与经典预测比较。

1
计算总相对论能量：
2
$E = \gamma m_0 c^2 = 1.67 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2 \approx 2.51 \times 10^{-10} \text{ J}$
3
计算静能：
4
$E_0 = m_0 c^2 = 1.67 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \approx 1.50 \times 10^{-10} \text{ J}$
5
相对论动能是 $K = E - E_{0}$ ：
6
$K = 2.51 \times 10^{-10} - 1.50 \times 10^{-10} \approx 1.01 \times 10^{-10} \text{ J}$
7
Compare to classical kinetic energy $\frac{1}{2} m_{0} v^{2}$ ：
8
$K_{classical} = 0.5 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (0.8 \times 3 \times 10^8)^2 \approx 4.81 \times 10^{-11} \text{ J}$
9
在这个相对论速度下，经典预测对动能的低估超过50%，表明经典力学在高速下的误差很大。

Exam tip:

动能始终等于总能量减去静能；当 $v > 0.1 c$ 时，绝对不要使用经典公式。

3. 质能等效★★☆☆☆HL 专属⏱ 8 min

📘 定义

质能等效

$Δ E = Δ m c^{2}$

质量和能量可以相互转化的原理；系统的总能量与其总质量成正比，即使在静止时也是如此。

例:

这解释了核裂变和聚变中释放的能量，静质量被转化为动能。

在核反应中，产物的总静质量与反应物的总静质量不同。这个差值（质量亏损）对应反应释放或吸收的能量，可以直接通过 $Δ E = Δ m c^{2}$ 计算。

📐 例题

一次U-235裂变事件的质量亏损约为 $0.18$ u。已知 $1 u = 931.5$ MeV c $^{- 2}$ ，计算释放的能量，单位为MeV。

1
直接代入质能关系：
2
$\Delta E = \Delta m c^2 = 0.18 \text{ u} \times 931.5 \text{ MeV c}^{-2} \times c^2$
3
消去 $c^{2}$ 并计算：
4
$\Delta E = 0.18 \times 931.5 \approx 170 \text{ MeV}$

Exam tip:

IB通常给出 $1 u = 931.5$ MeV c $^{- 2}$ ，这会自动消去 $c^{2}$ 项，简化计算。

4. 相对论能量-动量守恒★★★★★HL 专属⏱ 15 min

对于任何封闭系统，总相对论能量和总相对论动量在所有相互作用（包括粒子衰变、碰撞、湮灭和对产生）中都守恒。能量-动量不变量可以用来简化有粒子产生或湮灭的问题。

📐 例题

一个电子和一个正电子（每个静质量都是 $0.511$ MeV c $^{- 2}$ ）静止湮灭，产生两个相同的伽马射线。求每个伽马射线的能量。

1
计算总初始能量；两个粒子都静止，因此总能量等于它们的静能之和：
2
$E_{total} = 2 \times m_0 c^2 = 2 \times 0.511 \text{ MeV} = 1.022 \text{ MeV}$
3
初始总动量为零（两个粒子都静止），因此两个伽马射线必须具有大小相等、方向相反的动量，因此能量相等以满足动量守恒。
4
总能量守恒，因此每个伽马射线携带总能量的一半：
5
$E_{\gamma} = \frac{1.022}{2} = 0.511 \text{ MeV}$

5. 常见陷阱

错误做法:

在相对论速度下使用经典动能公式 $\frac{1}{2} m_{0} v^{2}$

原因:

经典动能在速度超过 $0.1 c$ 时会严重低估动能，导致大量丢分

正确做法:

始终将相对论动能计算为 $K = γ m_{0} c^{2} - m_{0} c^{2} = E_{t o t a l} - E_{0}$

错误做法:

在计算中使用相对论质量概念

原因:

IB物理明确不使用相对论质量，使用该概念的答案会被扣分

正确做法:

始终使用不变静质量 $m_{0}$ ，并使用能量-动量不变量 $E^{2} = (p c)^{2} + (m_{0} c^{2})^{2}$

错误做法:

计算质量亏损对应的能量时忘记转换单位

原因:

如果要求结果以焦耳为单位，直接将原子质量单位代入 $D e l t a E = D e l t am c^{2}$ 会得到错误单位

正确做法:

如果要得到焦耳单位，将 $Δ m$ 转换为千克，或者计算得到MeV后再转换为焦耳

错误做法:

只守恒能量，忽略动量守恒

原因:

很多问题需要同时使用两个守恒定律才能得到正确答案，尤其是光子产生和碰撞问题

正确做法:

始终对整个系统写出总能量和总动量守恒的方程

错误做法:

假设反应中总静质量守恒

原因:

静质量可以转化为动能（反之亦然），因此只有总能量（而非总静质量）守恒

正确做法:

计算质量亏损 $Δ m$ （总静质量的变化），即可得到释放或吸收的能量

6. 速查表

物理量	公式	要点
相对论动量	$p = γ m_{0} v$	$γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$
静能	$E_{0} = m_{0} c^{2}$	在所有参考系中不变
总能量	$E = γ m_{0} c^{2}$	静能 + 动能
相对论动能	$K = (γ - 1) m_{0} c^{2}$	不是 $\frac{1}{2} m_{0} v^{2}$
能量-动量不变量	$E^{2} = (p c)^{2} + (m_{0} c^{2})^{2}$	在所有惯性系中相同
质能转换	$Δ E = Δ m c^{2}$	$1 u = 931.5$ MeV c $^{- 2}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 2
计算加速质子的能量
2022 · 1
α衰变中的质量亏损
2021 · 2
相对论动量碰撞问题

深入阅读

ib syllabusIB 物理 HL 2025 大纲官方大纲供参考

下一步

你在这里学习的相对论能量和动量概念是IB物理HL几乎所有高阶主题的基础。质能等效对核物理主题至关重要，你会在那里用它计算结合能，以及裂变、聚变和放射性衰变释放的能量。相对论能量-动量守恒在粒子物理中经常使用，用来解决涉及粒子衰变和碰撞的问题。本主题也是理解广义相对论的基础，在广义相对论中，能量和动量弯曲时空产生引力。掌握这里的不变量关系会对你学习大纲中许多其他主题有很大帮助。