# A.5 狭义相对论：能量与动量 (AHL)

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-5-special-relativity-energy/

本AHL子主题将狭义相对论的假设扩展到能量和动量，涵盖质能等效、相对论动能以及高速粒子相互作用的守恒定律，是IB物理HL的常考主题。

**先修:** [狭义相对论基础和洛伦兹因子](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-4-special-relativity-origins/); 经典力学中的动量与能量守恒

## 学习目标

- 计算相对论速度下粒子的相对论动量
- 区分静能、总能量和相对论动能
- 应用质能等效计算核反应释放的能量
- 利用相对论能量和动量守恒解决问题

## 相对论动量

**相对论动量** — 经过修正的速度为$v$的粒子动量表达式，保证动量守恒在所有惯性参考系中成立。

*记法:* $p = \gamma m_0 v$

*例:* 当$v \ll c$时，$\gamma \approx 1$，因此$p \approx m_0 v$，与经典定义一致。

动量的经典定义无法在相对论粒子碰撞中保持守恒。在定义中加入洛伦兹因子解决了这个问题，并且正确表明当$v$趋近于$c$时，动量趋近于无穷大，因此有质量粒子无法达到光速。

**例题:** 一个质子（静质量$m_0 = 1.67 \times 10^{-27}$ kg）相对于实验室观察者以$v = 0.8c$运动。计算它的相对论动量。

1. 首先计算洛伦兹因子$\gamma$：
2. $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{1}{0.6} \approx 1.67$$
3. 代入相对论动量公式：
4. $$p = \gamma m_0 v = 1.67 \times (1.67 \times 10^{-27}) \times (0.8 \times 3 \times 10^8) \approx 6.7 \times 10^{-19} \text{ kg m s}^{-1}$$

> **考试提示:** IB不使用相对论质量惯例；所有公式中请始终使用静质量$m_0$。

## 总能量与静能

**静能** — 即使粒子相对于观察者静止，粒子由于其静质量本身具有的固有能量。

*记法:* $E_0 = m_0 c^2$

运动粒子的总相对论能量是其静能与相对论动能之和。总能量、动量和静质量之间的核心不变量关系在所有惯性系中都成立，因此对解题非常有用。

$$E^2 = (p c)^2 + (m_0 c^2)^2$$

**例题:** 求上一个例子中质子的相对论动能（$v = 0.8c$，$m_0 = 1.67 \times 10^{-27}$ kg），并与经典预测比较。

1. 计算总相对论能量：
2. $$E = \gamma m_0 c^2 = 1.67 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2 \approx 2.51 \times 10^{-10} \text{ J}$$
3. 计算静能：
4. $$E_0 = m_0 c^2 = 1.67 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \approx 1.50 \times 10^{-10} \text{ J}$$
5. 相对论动能是 $K = E - E_0$：
6. $$K = 2.51 \times 10^{-10} - 1.50 \times 10^{-10} \approx 1.01 \times 10^{-10} \text{ J}$$
7. Compare to classical kinetic energy $\frac{1}{2}m_0 v^2$：
8. $$K_{classical} = 0.5 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (0.8 \times 3 \times 10^8)^2 \approx 4.81 \times 10^{-11} \text{ J}$$
9. 在这个相对论速度下，经典预测对动能的低估超过50%，表明经典力学在高速下的误差很大。

> **考试提示:** 动能始终等于总能量减去静能；当$v > 0.1c$时，绝对不要使用经典公式。

## 质能等效

**质能等效** — 质量和能量可以相互转化的原理；系统的总能量与其总质量成正比，即使在静止时也是如此。

*记法:* $\Delta E = \Delta m c^2$

*例:* 这解释了核裂变和聚变中释放的能量，静质量被转化为动能。

在核反应中，产物的总静质量与反应物的总静质量不同。这个差值（质量亏损）对应反应释放或吸收的能量，可以直接通过$\Delta E = \Delta m c^2$计算。

**例题:** 一次U-235裂变事件的质量亏损约为$0.18$ u。已知$1 u = 931.5$ MeV c$^{-2}$，计算释放的能量，单位为MeV。

1. 直接代入质能关系：
2. $$\Delta E = \Delta m c^2 = 0.18 \text{ u} \times 931.5 \text{ MeV c}^{-2} \times c^2$$
3. 消去$c^2$并计算：
4. $$\Delta E = 0.18 \times 931.5 \approx 170 \text{ MeV}$$

> **考试提示:** IB通常给出$1 u = 931.5$ MeV c$^{-2}$，这会自动消去$c^2$项，简化计算。

## 相对论能量-动量守恒

对于任何封闭系统，总相对论能量和总相对论动量在所有相互作用（包括粒子衰变、碰撞、湮灭和对产生）中都守恒。能量-动量不变量可以用来简化有粒子产生或湮灭的问题。

**例题:** 一个电子和一个正电子（每个静质量都是$0.511$ MeV c$^{-2}$）静止湮灭，产生两个相同的伽马射线。求每个伽马射线的能量。

1. 计算总初始能量；两个粒子都静止，因此总能量等于它们的静能之和：
2. $$E_{total} = 2 \times m_0 c^2 = 2 \times 0.511 \text{ MeV} = 1.022 \text{ MeV}$$
3. 初始总动量为零（两个粒子都静止），因此两个伽马射线必须具有大小相等、方向相反的动量，因此能量相等以满足动量守恒。
4. 总能量守恒，因此每个伽马射线携带总能量的一半：
5. $$E_{\gamma} = \frac{1.022}{2} = 0.511 \text{ MeV}$$

> **tip**
>
> 如果你的系统初始静止，一定要注意初始总动量为零，这会极大简化大多数问题。

## 常见错误

- **错误做法:** 在相对论速度下使用经典动能公式$\frac{1}{2}m_0v^2$
  - 原因: 经典动能在速度超过$0.1c$时会严重低估动能，导致大量丢分
  - 正确做法: 始终将相对论动能计算为$K = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = E_{total} - E_0$
- **错误做法:** 在计算中使用相对论质量概念
  - 原因: IB物理明确不使用相对论质量，使用该概念的答案会被扣分
  - 正确做法: 始终使用不变静质量$m_0$，并使用能量-动量不变量$E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$
- **错误做法:** 计算质量亏损对应的能量时忘记转换单位
  - 原因: 如果要求结果以焦耳为单位，直接将原子质量单位代入$\\Delta E = \\Delta m c^2$会得到错误单位
  - 正确做法: 如果要得到焦耳单位，将$\Delta m$转换为千克，或者计算得到MeV后再转换为焦耳
- **错误做法:** 只守恒能量，忽略动量守恒
  - 原因: 很多问题需要同时使用两个守恒定律才能得到正确答案，尤其是光子产生和碰撞问题
  - 正确做法: 始终对整个系统写出总能量和总动量守恒的方程
- **错误做法:** 假设反应中总静质量守恒
  - 原因: 静质量可以转化为动能（反之亦然），因此只有总能量（而非总静质量）守恒
  - 正确做法: 计算质量亏损$\Delta m$（总静质量的变化），即可得到释放或吸收的能量

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 相对论动量 | $p = \gamma m_0 v$ | $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ |
| 静能 | $E_0 = m_0 c^2$ | 在所有参考系中不变 |
| 总能量 | $E = \gamma m_0 c^2$ | 静能 + 动能 |
| 相对论动能 | $K = (\gamma - 1) m_0 c^2$ | 不是$\frac{1}{2}m_0 v^2$ |
| 能量-动量不变量 | $E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$ | 在所有惯性系中相同 |
| 质能转换 | $\Delta E = \Delta m c^2$ | $1 u = 931.5$ MeV c$^{-2}$ |

## 下一步

你在这里学习的相对论能量和动量概念是IB物理HL几乎所有高阶主题的基础。质能等效对核物理主题至关重要，你会在那里用它计算结合能，以及裂变、聚变和放射性衰变释放的能量。相对论能量-动量守恒在粒子物理中经常使用，用来解决涉及粒子衰变和碰撞的问题。本主题也是理解广义相对论的基础，在广义相对论中，能量和动量弯曲时空产生引力。掌握这里的不变量关系会对你学习大纲中许多其他主题有很大帮助。

- [A.6 圆周运动与万有引力（AHL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-6-circular-motion-and/)
- [主题B：物质的微粒性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-overview/)
- [B.1 温度与热能](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u2-b-1-temperature-and-thermal/)

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