A.4 转动力学

IB 物理 HL· 45 分钟阅读

1. 转动运动学：线量与角量的对应关系★★☆☆☆⏱ 10 min

所有直线运动学物理量都有直接对应的转动等效量，匀加速运动的运动学方程形式完全相同。

📘 定义

转动运动学物理量

Angular displacement $θ$ (rad), angular velocity $ω$ (rad s⁻¹), angular acceleration $α$ (rad s⁻²)

描述刚体绕固定轴转动的物理量，对于半径 $r$ 处的质点，与线量的关系为 $x = r θ$ , $v = r ω$ , $a = r α$ 。

线量	转动等效量	匀加速运动方程
位移 $x$	$θ$	$θ = ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}$
速度 $v$	$ω$	$ω^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α θ$
加速度 $a$	$α$	$ω = ω_{0} + α t$

📐 例题

一个半径为0.5 m的轮子从静止开始匀加速，4秒内角速度达到12 rad s⁻¹。求轮子边缘的最终线速度和总角位移。

1
利用边缘质点线速度与角速度的关系：
2
$v = r\omega = 0.5 \times 12 = 6 \text{ m s}^{-1}$
3
根据角速度变化计算角加速度：
4
$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{12 - 0}{4} = 3 \text{ rad s}^{-2}$
5
利用运动学方程计算角位移得到最终结果：
6
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 3 \times 4^2 = 24 \text{ rad}$

Exam tip:

代入公式前，一定要将角速度从转每分钟（rpm）转换为弧度每秒。

2. 力矩与转动惯量★★★☆☆⏱ 15 min

力矩是力的转动等效量，转动惯量是质量的转动等效量。物体的转动惯量取决于其质量相对于转轴的分布。

📘 定义

力矩

$τ = r F sin θ$

力绕支点的转动效应，其中 $θ$ 是位置矢量 $r$ （从支点到力的作用点）与力 $F$ 的夹角。

📘 定义

转动惯量

$I = \sum m_{i} r_{i}^{2}$

衡量物体对角加速度抵抗能力的物理量，等于每个质量元与其到转轴距离平方的乘积之和。

平行轴定理可以用来计算任意平行于质心轴的转轴的转动惯量： $I = I_{c m} + M d^{2}$ ，其中 $M$ 是总质量， $d$ 是两轴之间的距离。

📐 例题

已知质量为 $M$ 、长度为 $L$ 的均匀细杆，通过质心的转轴的转动惯量为 $I_{c m} = \frac{1}{12} M L^{2}$ ，计算杆绕一端转轴的转动惯量。

1
质心轴与端点转轴之间的距离为 $d = \frac{L}{2}$ ：
2
$I = I_{cm} + Md^2$
3
$I = \frac{1}{12}ML^2 + M\left(\frac{L}{2}\right)^2$
4
$I = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{3}{12}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2$

3. 转动的牛顿第二定律与转动动能★★★★☆⏱ 20 min

和直线运动一样，转动也有形式简洁的牛顿第二定律，我们可以计算转动刚体的动能。

📘 定义

转动的牛顿第二定律

刚体所受的合外力矩等于转动惯量与角加速度的乘积： $τ_{n e t} = I α$

📘 定义

转动动能

转动对应的动能： $E_{k} = \frac{1}{2} I ω^{2}$ 。对于无滑滚动的物体，总动能等于平动动能与转动动能之和。

📐 例题

质量为 $M$ 、半径为 $R$ 的实心圆柱沿倾角为 $θ$ 的斜面无滑滚动，求它沿斜面向下的线加速度。

1
摩擦力对圆柱中心的力矩等于 $I α$ 。对于实心圆柱， $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ ，无滑滚动时有 $α = \frac{a}{R}$ ：
2
$\tau = fR = I\alpha = \frac{1}{2}MR^2 \times \frac{a}{R} \rightarrow f = \frac{1}{2}Ma$
3
沿斜面方向应用直线运动的牛顿第二定律：
4
$Mg\sin\theta - f = Ma$
5
代入 $f$ 并求解 $a$ ：
6
$Mg\sin\theta - \frac{1}{2}Ma = Ma \rightarrow a = \frac{2}{3}g\sin\theta$

Exam tip:

计算滚动物体的总能量时，一定要将转动动能和平动动能相加。

4. 角动量与守恒定律★★★☆☆⏱ 15 min

角动量是线动量的转动等效量，当系统所受合外力矩为零时，角动量守恒。这是物理学最基本的守恒定律之一。

📘 定义

角动量

$L = I ω$ (for rigid body rotation)

若系统所受合外力矩为零，则系统的总角动量保持不变。

📐 例题

一名花样滑冰选手初始转动惯量为4.8 kg m²，转速为1.5 转每秒。她将手臂收回，转动惯量减小到2.4 kg m²。求她新的角速度，单位为转每秒。

1
选手受到的合外力矩可忽略，因此角动量守恒： $L_{1} = L_{2}$
2
$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$
3
整理求解 $ω_{2}$ ：
4
$\omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\omega_1 = \frac{4.8}{2.4} \times 1.5 = 3 \text{ rev s}^{-1}$

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记将角速度从转每分钟（rpm）转换为弧度每秒

原因:

所有转动公式要求角量单位为弧度，而非转

正确做法:

将rpm乘以 $\frac{2 π}{60}$ 即可转换为rad s⁻¹

错误做法:

对给定形状和转轴使用错误的转动惯量

原因:

不同转轴对应的标准转动惯量值经常被混淆

正确做法:

记住IB大纲要求的标准值，或通过平行轴定理从质心值推导

错误做法:

在能量守恒问题中忽略滚动物体的转动动能

原因:

只考虑平动动能会得到错误的末速度

正确做法:

无滑滚动的总动能为 $\frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} I ω^{2}$

错误做法:

计算力矩时只写 $r F$ ，漏掉 $sin θ$ 项

原因:

力矩取决于力的垂直分量，而非力的总大小

正确做法:

一定要包含 $sin θ$ ，其中 $θ$ 是 $r$ 与 $F$ 的夹角

错误做法:

在合外力矩不为零时仍然应用角动量守恒

原因:

守恒定律仅适用于合外力矩为零的孤立系统

正确做法:

使用角动量守恒前，先检查是否存在外力矩（例如偏心支点受到的重力）

6. 速查表

物理量	直线运动	转动	关系
位移	$x$	$θ$	$x = r θ$
速度	$v$	$ω$	$v = r ω$
加速度	$a$	$α$	$a = r α$
惯性	$m$	$I$	$I = \sum m_{i} r_{i}^{2}$
力/力矩	$F$	$τ$	$τ = r F sin θ$
牛顿第二定律	$F_{n e t} = ma$	$τ_{n e t} = I α$
动量	$p = m v$	$L = I ω$	Conserved if $τ_{n e t, e x t} = 0$
动能	$\frac{1}{2} m v^{2}$	$\frac{1}{2} I ω^{2}$	$K E_{t o t a l} = K E_{l in} + K E_{r o t}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

转动力学是IB物理HL的核心基础概念，几乎延伸到IB物理HL的所有领域。你在分析天体物理中的轨道运动、简谐运动中的扭摆振动、涉及转动体的碰撞问题时都会用到这里的原理。你在这里学到的线量与角量对应的模式也可以推广到大学阶段会遇到的更高级力学概念。现在掌握转动问题的求解方法，可以帮助你避免多主题综合考题中的常见错误，这类题目通常会结合能量、动量和转动运动。