A.3 功、能量和功率

IB 物理 HL· 主题A：空间、时间和运动，专题A.3· 45 分钟阅读

1. 恒力和变力做的功★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

恒力做的功

W

力与位移的标量积，等于转移到物体或从物体转移出的能量。计算公式为 $W = F s cos θ$ ，其中 $θ$ 是力与位移矢量之间的夹角。

例:

一个10 N的力沿与位移成 $3 0^{\circ}$ 角拉动物体移动2 m，做功为 $W = 10 \times 2 \times cos 3 0^{\circ} = 17.3 J$ 。

功可以是正也可以是负：正功为物体增加能量，负功则带走能量（例如摩擦力做的功）。对于变力，做功等于力-位移图像下的面积。

📐 例题

一名学生用与水平方向成 $2 5^{\circ}$ 角的绳子，将一个5 kg的雪橇沿水平冰面拉动10 m。绳子张力为40 N，摩擦力为5 N。计算雪橇受到的总功。

1
计算张力做的功： $W_{T} = T s cos θ$
2
$W_T = 40 \times 10 \times \cos 25^\circ \approx 362.4 \text{ J}$
3
摩擦力方向与位移相反，因此 $θ = 18 0^{\circ}$ ， $cos 18 0^{\circ} = - 1$ ：
4
$W_f = 5 \times 10 \times (-1) = -50 \text{ J}$
5
支持力和重力与位移垂直，因此 $cos 9 0^{\circ} = 0$ ，它们做的功为0。
6
将所有功相加得到总功：
7
$W_{\text{total}} = 362.4 - 50 + 0 + 0 = 312.4 \text{ J} \approx 310 \text{ J (2 s.f.)}$

Exam tip:

务必检查力和位移之间的夹角。垂直于位移的力做功始终为零，即使力很大也是如此。

2. 功能定理与能量守恒★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

功能定理

作用在物体上所有力做的总功等于物体动能的变化： $W_{total} = Δ E_{k}$ 。动能定义为 $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ 。

保守力将能量储存为势能：保守力做的功满足 $W_{c} = - Δ E_{p}$ 。机械能守恒定律指出，如果只有保守力做功，总机械能 $E = E_{k} + E_{p}$ 保持不变。

📐 例题

一个2 kg的球从10 m高度处由静止下落，忽略空气阻力，使用能量守恒定律计算撞击地面前的速度。

1
以地面为零势能面。初始状态： $E_{k, i} = 0$ ， $E_{p, i} = m g h$
2
$E_i = 0 + (2)(9.8)(10) = 196 \text{ J}$
3
末状态： $E_{p, f} = 0$ ， $E_{k, f} = \frac{1}{2} m v^{2}$ ，因此 $E_{f} = \frac{1}{2} m v^{2}$
4
能量守恒： $E_{i} = E_{f}$
5
$196 = \frac{1}{2}(2)v^2 \implies v^2 = 196 \implies v = 14 \text{ m s}^{-1}$

3. 功率和效率★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

功率

P

做功或转移能量的速率。国际单位是瓦特（ $1 W = 1 J s^{- 1}$ ）。对于以恒定速度运动的物体， $P = F_{∥} v$ ，其中 $F_{∥}$ 是力平行于速度的分量。

例:

一台500 W的发动机每秒做500 J的功。

现实中没有任何过程能将100%的输入能量转化为有用输出。效率（ $η$ ）衡量有用输出能量的比例：

\eta = \frac{\text{useful power output}}{\text{total power input}} = \frac{\text{useful work output}}{\text{total energy input}} \times 100\%

📐 例题

一个2000 kg的电梯从静止开始向上加速，4秒内达到 $2 m s^{- 1}$ 的速度，上升高度为4 m。计算电机的最小输出功率。

1
总能量增加 = 势能变化 + 动能变化
2
$\Delta E_p = mgh = (2000)(9.8)(4) = 78400 \text{ J}$
3
$\Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}(2000)(2^2) = 4000 \text{ J}$
4
忽略损耗的情况下，最小总输入能量为：
5
$\Delta E_{\text{total}} = 78400 + 4000 = 82400 \text{ J}$
6
功率 = 能量 / 时间：
7
$P = \frac{82400}{4} = 20600 \text{ W} = 20.6 \text{ kW}$

Exam tip:

效率始终是输出除以输入。如果你得到大于100%的效率，说明你把分子分母弄反了，需要修正。

4. 保守力与非保守力★★★☆☆⏱ 10 min

📘 定义

保守力与非保守力

保守力做功与路径无关，沿闭合路径做功为零，会将能量储存为势能。非保守力做功与路径有关，会以热量形式耗散能量。

当非保守力做功时，它们做的功等于总机械能的变化： $W_{n c} = Δ (E_{k} + E_{p})$ 。这可以用来计算现实系统中的能量损耗。

📐 例题

一个50 kg的滑雪者从50 m高的斜坡顶端由静止开始滑下，到达底端时速度为 $20 m s^{- 1}$ 。计算摩擦力做的功。

1
Use $W_{n c} = (E_{k, f} + E_{p, f}) - (E_{k, i} + E_{p, i})$
2
Take bottom of slope as $E_{p} = 0$ :
3
$E_{p,i} = mgh = (50)(9.8)(50) = 24500 \text{ J}, \quad E_{k,i} = 0$
4
$E_{k,f} = \frac{1}{2}(50)(20^2) = 10000 \text{ J}, \quad E_{p,f} = 0$
5
$W_{nc} = (10000 + 0) - (0 + 24500) = -14500 \text{ J}$

5. 常见陷阱

错误做法:

直接相加功的大小，没有考虑阻力做的负功

原因:

功是可以为负的标量，因此总功是代数和，不是大小之和

正确做法:

先分别计算每个力的功，根据夹角确定正确符号，再代数相加

错误做法:

假设作用在运动物体上的所有力都做非零功

原因:

如果力与位移垂直，做功为零

正确做法:

始终检查力和位移之间的夹角；垂直的力不做功

错误做法:

当力与运动方向成夹角时，使用 $P = F v$ 时代入力的完整大小

原因:

关系 $P = F v$ 仅适用于平行于速度的力分量

正确做法:

使用 $P = F_{∥} v$ ，其中 $F_{∥}$ 是力的平行分量

错误做法:

当存在摩擦力或其他非保守力时仍然应用机械能守恒

原因:

只有当没有非保守力做功时，机械能守恒才成立

正确做法:

只有题目说明可以忽略摩擦力/空气阻力时，才能使用 $E_{ini t ia l} = E_{f ina l}$

错误做法:

将效率计算为输入能量除以输出能量

原因:

这会得到大于100%的结果，违反热力学第二定律

正确做法:

效率始终是有用输出能量除以总输入能量，因此始终小于100%

6. 速查表

物理量	公式	要点提示
恒力做功	W = Fs\cos\theta	$θ$ = 力与位移的夹角
动能	$E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$	始终为正
功能定理	$W_{t o t a l} = Δ E_{k}$	总功 = 动能变化
机械能守恒	$E_{k 1} + E_{p 1} = E_{k 2} + E_{p 2}$	仅当无非保守力做功时成立
功率	$P = \frac{W}{Δ t} = F_{∥} v$	单位：瓦特（1 W = 1 J/s）
效率	$η = \frac{P _{o u t}}{P _{in}} \times 100%$	$η < 100%$ 对所有真实系统成立
非保守力做功	$W_{n c} = Δ (E_{k} + E_{p})$	用于计算能量损耗

下一步

功、能量和功率是IB物理所有力学主题的基础，能量概念延伸到大纲的每个领域。能量方法可以让你解决仅用牛顿定律很难处理的复杂问题，尤其是对于变加速运动和多个相互作用物体的系统。掌握这些基础会让你在后续课程中更容易理解热学、电学和现代物理中的能量概念。这些概念在Paper 1和Paper 2考试中都占很大比重，因此定期练习非常关键。