# A.3 功、能量和功率

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-3-work-energy-and/

本小节介绍机械系统中功、能量和功率的核心关系。你将学习如何计算力做的功、应用能量守恒，以及解决IB物理HL考试中涉及功率和效率的问题。

**先修:** [力与牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-2-forces/); [一维和二维运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-1-kinematics/)

## 学习目标

- 定义力做的功，计算恒力和变力的做功大小
- 应用功能定理建立总功与动能变化的联系
- 计算机械系统的功率和效率
- 区分保守力与非保守力，并应用机械能守恒定律
- 解决涉及非保守力的能量变化问题

## 恒力和变力做的功

**恒力做的功** — 力与位移的标量积，等于转移到物体或从物体转移出的能量。计算公式为 $W = Fs\cos\theta$，其中 $\theta$ 是力与位移矢量之间的夹角。

*记法:* W

*例:* 一个10 N的力沿与位移成 $30^\circ$ 角拉动物体移动2 m，做功为 $W = 10 \times 2 \times \cos 30^\circ = 17.3 \text{ J}$。

功可以是正也可以是负：正功为物体增加能量，负功则带走能量（例如摩擦力做的功）。对于变力，做功等于力-位移图像下的面积。

**例题:** 一名学生用与水平方向成 $25^\circ$ 角的绳子，将一个5 kg的雪橇沿水平冰面拉动10 m。绳子张力为40 N，摩擦力为5 N。计算雪橇受到的总功。

1. 计算张力做的功：$W_T = Ts\cos\theta$
2. $$W_T = 40 \times 10 \times \cos 25^\circ \approx 362.4 \text{ J}$$
3. 摩擦力方向与位移相反，因此 $\theta = 180^\circ$，$\cos 180^\circ = -1$：
4. $$W_f = 5 \times 10 \times (-1) = -50 \text{ J}$$
5. 支持力和重力与位移垂直，因此 $\cos 90^\circ = 0$，它们做的功为0。
6. 将所有功相加得到总功：
7. $$W_{\text{total}} = 362.4 - 50 + 0 + 0 = 312.4 \text{ J} \approx 310 \text{ J (2 s.f.)}$$

> **考试提示:** 务必检查力和位移之间的夹角。垂直于位移的力做功始终为零，即使力很大也是如此。

## 功能定理与能量守恒

**功能定理** — 作用在物体上所有力做的总功等于物体动能的变化：$W_{\text{total}} = \Delta E_k$。动能定义为 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$。

保守力将能量储存为势能：保守力做的功满足 $W_c = -\Delta E_p$。机械能守恒定律指出，如果只有保守力做功，总机械能 $E = E_k + E_p$ 保持不变。

**例题:** 一个2 kg的球从10 m高度处由静止下落，忽略空气阻力，使用能量守恒定律计算撞击地面前的速度。

1. 以地面为零势能面。初始状态：$E_{k,i} = 0$，$E_{p,i} = mgh$
2. $$E_i = 0 + (2)(9.8)(10) = 196 \text{ J}$$
3. 末状态：$E_{p,f} = 0$，$E_{k,f} = \frac{1}{2}mv^2$，因此 $E_f = \frac{1}{2}mv^2$
4. 能量守恒：$E_i = E_f$
5. $$196 = \frac{1}{2}(2)v^2 \implies v^2 = 196 \implies v = 14 \text{ m s}^{-1}$$

## 功率和效率

**功率** — 做功或转移能量的速率。国际单位是瓦特（$1 \text{ W} = 1 \text{ J s}^{-1}$）。对于以恒定速度运动的物体，$P = F_{\parallel}v$，其中 $F_{\parallel}$ 是力平行于速度的分量。

*记法:* P

*例:* 一台500 W的发动机每秒做500 J的功。

现实中没有任何过程能将100%的输入能量转化为有用输出。效率（$\eta$）衡量有用输出能量的比例：

$$\eta = \frac{\text{useful power output}}{\text{total power input}} = \frac{\text{useful work output}}{\text{total energy input}} \times 100\%$$

**例题:** 一个2000 kg的电梯从静止开始向上加速，4秒内达到 $2 \text{ m s}^{-1}$ 的速度，上升高度为4 m。计算电机的最小输出功率。

1. 总能量增加 = 势能变化 + 动能变化
2. $$\Delta E_p = mgh = (2000)(9.8)(4) = 78400 \text{ J}$$
3. $$\Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}(2000)(2^2) = 4000 \text{ J}$$
4. 忽略损耗的情况下，最小总输入能量为：
5. $$\Delta E_{\text{total}} = 78400 + 4000 = 82400 \text{ J}$$
6. 功率 = 能量 / 时间：
7. $$P = \frac{82400}{4} = 20600 \text{ W} = 20.6 \text{ kW}$$

> **考试提示:** 效率始终是输出除以输入。如果你得到大于100%的效率，说明你把分子分母弄反了，需要修正。

## 保守力与非保守力

**保守力与非保守力** — 保守力做功与路径无关，沿闭合路径做功为零，会将能量储存为势能。非保守力做功与路径有关，会以热量形式耗散能量。

当非保守力做功时，它们做的功等于总机械能的变化：$W_{nc} = \Delta (E_k + E_p)$。这可以用来计算现实系统中的能量损耗。

**例题:** 一个50 kg的滑雪者从50 m高的斜坡顶端由静止开始滑下，到达底端时速度为 $20 \text{ m s}^{-1}$。计算摩擦力做的功。

1. Use $W_{nc} = (E_{k,f} + E_{p,f}) - (E_{k,i} + E_{p,i})$
2. Take bottom of slope as $E_p = 0$:
3. $$E_{p,i} = mgh = (50)(9.8)(50) = 24500 \text{ J}, \quad E_{k,i} = 0$$
4. $$E_{k,f} = \frac{1}{2}(50)(20^2) = 10000 \text{ J}, \quad E_{p,f} = 0$$
5. $$W_{nc} = (10000 + 0) - (0 + 24500) = -14500 \text{ J}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 直接相加功的大小，没有考虑阻力做的负功
  - 原因: 功是可以为负的标量，因此总功是代数和，不是大小之和
  - 正确做法: 先分别计算每个力的功，根据夹角确定正确符号，再代数相加
- **错误做法:** 假设作用在运动物体上的所有力都做非零功
  - 原因: 如果力与位移垂直，做功为零
  - 正确做法: 始终检查力和位移之间的夹角；垂直的力不做功
- **错误做法:** 当力与运动方向成夹角时，使用 $P = Fv$ 时代入力的完整大小
  - 原因: 关系 $P = Fv$ 仅适用于平行于速度的力分量
  - 正确做法: 使用 $P = F_{\parallel}v$，其中 $F_{\parallel}$ 是力的平行分量
- **错误做法:** 当存在摩擦力或其他非保守力时仍然应用机械能守恒
  - 原因: 只有当没有非保守力做功时，机械能守恒才成立
  - 正确做法: 只有题目说明可以忽略摩擦力/空气阻力时，才能使用 $E_{initial} = E_{final}$
- **错误做法:** 将效率计算为输入能量除以输出能量
  - 原因: 这会得到大于100%的结果，违反热力学第二定律
  - 正确做法: 效率始终是有用输出能量除以总输入能量，因此始终小于100%

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 要点提示 |
| --- | --- | --- |
| 恒力做功 | W = Fs\cos\theta | $\theta$ = 力与位移的夹角 |
| 动能 | $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ | 始终为正 |
| 功能定理 | $W_{total} = \Delta E_k$ | 总功 = 动能变化 |
| 机械能守恒 | $E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$ | 仅当无非保守力做功时成立 |
| 功率 | $P = \frac{W}{\Delta t} = F_{\parallel}v$ | 单位：瓦特（1 W = 1 J/s） |
| 效率 | $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\%$ | $\eta < 100\%$ 对所有真实系统成立 |
| 非保守力做功 | $W_{nc} = \Delta (E_k + E_p)$ | 用于计算能量损耗 |

## 下一步

功、能量和功率是IB物理所有力学主题的基础，能量概念延伸到大纲的每个领域。能量方法可以让你解决仅用牛顿定律很难处理的复杂问题，尤其是对于变加速运动和多个相互作用物体的系统。掌握这些基础会让你在后续课程中更容易理解热学、电学和现代物理中的能量概念。这些概念在Paper 1和Paper 2考试中都占很大比重，因此定期练习非常关键。

- [A.4 转动力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-4-rotational-mechanics/)
- [A.5 狭义相对论：能量与动量 (AHL)](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-5-special-relativity-energy/)
- [A.6 圆周运动与万有引力（AHL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-6-circular-motion-and/)

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