# A.2 力与动量

> IB 物理 HL · IB 物理 HL（2025年首次评估）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-2-forces-and-momentum/

本核心力学子主题涵盖牛顿运动定律、线动量、冲量和动量守恒。你将学习求解IB物理考试中频繁出现的力、碰撞和爆炸问题。

**先修:** [A.1 运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-1-kinematics/); 矢量基础

## 学习目标

- 应用牛顿三定律求解一维力问题
- 计算线性系统的冲量和动量变化
- 利用动量守恒求解碰撞和爆炸问题
- 根据动能守恒区分弹性碰撞和非弹性碰撞

## 牛顿三大运动定律

**牛顿第一定律（惯性定律）** — 静止物体保持静止，匀速运动物体保持匀速直线运动，除非受到合外力作用。

**牛顿第二定律** — 物体动量的变化率等于作用在物体上的合外力：

*例:* 对于质量恒定的情况，该定律可简化为 $\vec{F}_{net} = m\vec{a}$。

**牛顿第三定律** — 如果物体A对物体B施加一个力，物体B会对物体A施加一个大小相等、方向相反、同类型的力。

**例题:** 一个质量为5.0 kg的箱子在水平面上以$2.0 \text{ m s}^{-2}$的加速度运动，受到恒定的3.0 N摩擦力。计算箱子受到的拉力。

1. 1. 画出受力图，沿水平方向应用牛顿第二定律：
2. $$F_{applied} - F_{friction} = ma$$
3. 2. 代入已知值求解$F_{applied}$：
4. $$F_{applied} = ma + F_{friction} = (5.0 \times 2.0) + 3.0 = 13 \text{ N}$$

> **考试提示:** 应用牛顿第二定律前，一定要画出受力图并标注所有力，避免漏算力。

## 动量与冲量

**线动量** — 等于物体质量与速度乘积的矢量：$\vec{p} = m\vec{v}$。

*记法:* p

**冲量** — 冲量等于物体动量的变化量，表达式为 $J = F_{avg} \Delta t = \Delta p$。冲量也等于力-时间图像下的面积。

*记法:* J

**例题:** 一个0.15 kg的球以$10 \text{ m s}^{-1}$水平撞击墙壁，反弹后速度大小为$8 \text{ m s}^{-1}$，方向相反。计算墙壁对球的冲量。

1. 1. 设球的初始运动方向为正方向，因此$v_i = +10 \text{ m s}^{-1}$，$v_f = -8 \text{ m s}^{-1}$：
2. 2. 计算动量变化量，其大小等于冲量：
3. $$\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.15(-8 - 10) = -2.7 \text{ kg m s}^{-1}$$
4. 负号表示冲量方向与球初始运动方向相反，因此球受到的冲量是$-2.7 \text{ N s}$。

## 动量守恒定律

**线动量守恒定律** — 对于封闭系统（无质量进出）且合外力为零，相互作用前系统的总动量等于相互作用后的总动量：$\sum \vec{p}_{initial} = \sum \vec{p}_{final}$。

**例题:** 一个70 kg的人静止站在静止的100 kg自由漂浮的船上。如果人相对于水以$1.5 \text{ m s}^{-1}$行走，船相对于水的速度是多少？

1. 1. 系统（人+船）的初始总动量为0，因为两者都静止：
2. 2. 应用动量守恒定律，设$v_b$ = 船的速度：
3. $$m_p v_p + m_b v_b = 0$$
4. 3. 求解$v_b$：
5. $$v_b = -\frac{m_p v_p}{m_b} = -\frac{70 \times 1.5}{100} = -1.05 \text{ m s}^{-1}$$
6. 负号表示船运动方向与人的运动方向相反。

> **考试提示:** 应用动量守恒前，一定要确认系统不存在合外力。

## 碰撞类型

- **弹性碰撞**：总动量*和*总动能都守恒
- **非弹性碰撞**：只有总动量守恒；动能转化为热量、声能或形变能量而损失
- **完全非弹性碰撞**：碰撞后物体粘在一起，动能损失最大

**例题:** 一个2.0 kg的物体以$3.0 \text{ m s}^{-1}$运动，与静止的1.0 kg物体发生正碰。碰撞后，2.0 kg物体沿原方向以$1.0 \text{ m s}^{-1}$运动。该碰撞是弹性碰撞吗？

1. 1. 利用动量守恒求出1.0 kg物体的末速度：
2. $$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$$
3. $$(2.0 \times 3.0) + 0 = (2.0 \times 1.0) + 1.0 v_{2f} \implies v_{2f} = 4.0 \text{ m s}^{-1}$$
4. 2. 比较碰撞前后的总动能：
5. $$KE_{initial} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 3^2 = 9.0 \text{ J}$$
6. $$KE_{final} = (\frac{1}{2} \times 2.0 \times 1^2) + (\frac{1}{2} \times 1.0 \times 4^2) = 1.0 + 8.0 = 9.0 \text{ J}$$
7. 动能守恒，因此该碰撞是弹性碰撞。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记动量是矢量，忽略方向符号
  - 原因: 对相反方向的动量直接相加大小，会得到错误的动量变化量
  - 正确做法: 计算前一定要设定正方向，保持速度和动量的符号一致
- **错误做法:** 混淆牛顿第三定律的力对和作用在同一物体上的平衡力
  - 原因: 作用力与反作用力作用在*不同*物体上，因此不会在单个物体上抵消
  - 正确做法: 为每个物体单独画受力图，标注每个力作用在哪个物体上
- **错误做法:** 假设所有碰撞中动能都守恒
  - 原因: 只有弹性碰撞动能守恒，宏观碰撞中弹性碰撞非常少见
  - 正确做法: 只有题目明确说明碰撞是弹性碰撞，或你通过计算确认后，才能使用动能守恒
- **错误做法:** 存在合外力时仍然应用动量守恒
  - 原因: 外力的冲量会改变系统总动量
  - 正确做法: 将施加外力的物体纳入系统，或者考虑外力的冲量

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 牛顿第二定律（通用形式） | $F_{net} = \frac{dp}{dt}$ | 适用于所有质量情况 |
| 动量 | $p = mv$ | 矢量 |
| 冲量-动量定理 | $J = F_{avg}\Delta t = \Delta p$ | 冲量 = 力-时间图像下的面积 |
| 动量守恒定律 | $\sum p_i = \sum p_f$ | 适用于封闭系统，$F_{net,ext}=0$ |
| 弹性碰撞 | p和KE都守恒 | 无净能量损失 |
| 非弹性碰撞 | 只有p守恒 | 动能转化为其他形式而损失 |

## 下一步

力与动量是IB物理 HL所有经典力学的基础，该主题的问题几乎出现在每张考试试卷中。你在这里学到的概念会延伸到圆周运动中，你将应用牛顿第二定律求解向心力问题，还会延伸到功和能，你将结合动量和能量守恒求解复杂的多步骤问题。在课程后面的核物理部分，你也会用动量分析粒子相互作用，因此掌握这个子主题对学习高阶主题至关重要。以下是接下来可以学习的相关子主题：

- [A.3 功、能量和功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-3-work-energy-and/)
- [A.4 转动力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-4-rotational-mechanics/)
- [A.5 狭义相对论：能量与动量 (AHL)](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-5-special-relativity-energy/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-2-forces-and-momentum/