# A.1 运动学

> IB 物理 HL · 主题A：空间、时间与运动
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-1-kinematics/

本小节介绍描述直线运动的核心概念，包括标量/矢量、恒定加速度的运动学（SUVAT）公式，以及运动图像的解读。它是IB物理HL所有力学主题的基础。

**先修:** 基本代数运算和图像解读能力

## 学习目标

- 区分运动中的标量和矢量物理量
- 计算直线运动的位移、速度和加速度
- 应用恒定加速度的运动学（SUVAT）公式
- 解读位移-时间和速度-时间运动图像

## 标量与矢量

**标量** — 只有大小，没有方向的物理量。

*例:* 路程、速率、质量、时间、能量都是标量。

**矢量** — 同时具有大小和方向，且遵循矢量加法规则的物理量。

*例:* 位移、速度、加速度、力都是矢量。

对于一维运动，我们可以通过给一个方向的运动分配正号，相反方向分配负号来简化矢量计算。

**例题:** 一位徒步者向北走了8 km，之后转身向南走了3 km。计算总路程和总位移。

1. 路程是标量，所以将所有大小相加：
2. $$8 + 3 = 11 \text{ km}$$
3. 设向北为正方向，因此向南为负方向。位移是矢量，所以将带符号的值相加：
4. $$\text{Displacement} = (+8) + (-3) = +5 \text{ km}$$
5. 最终答案：总距离 = 11 km，总位移 = 5 km 向北。

> **考试提示:** 务必检查题目问的是路程还是位移——二者几乎总是分开给分的。

## 核心运动学物理量

**平均速度** — 总位移除以运动总时间

*记法:* v_{\text{avg}}

*例:* $v_{\text{avg}} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

**加速度** — 速度的变化率，等于速度-时间图像的斜率

*记法:* a

*例:* $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ 对于恒定加速度

对于匀加速运动，无论运动时间多长，平均速度都等于初速度和末速度的平均值。

**例题:** 一位骑行者从静止开始加速，6秒后速度达到12 m s⁻¹。计算骑行者的平均速度和加速度。

1. 已知初速度 $u = 0$，末速度 $v = 12$ m s⁻¹，时间 $t = 6$ s。
2. 匀加速运动的平均速度：
3. $$v_{\text{avg}} = \frac{u + v}{2} = \frac{0 + 12}{2} = 6 \text{ m s}^{-1}$$
4. 加速度等于速度变化量除以时间：
5. $$a = \frac{v - u}{t} = \frac{12 - 0}{6} = 2 \text{ m s}^{-2}$$

## 运动学公式（SUVAT）

> **SUVAT 缩写记忆**
>
> 5个运动学物理量可以通过缩写SUVAT记忆：S = 位移，U = 初速度，V = 末速度，A = 加速度，T = 时间。

对于匀加速运动，成立的四个运动学公式为：

$$v = u + at$$

$$s = \frac{(u + v)t}{2}$$

$$s = ut + \frac{1}{2} a t^2$$

$$v^2 = u^2 + 2as$$

这些公式仅在加速度恒定的时候成立。它们适用于所有一维匀加速问题，包括自由落体。

**例题:** 一块石头从静止开始从45 m高的悬崖落下，取$g = 9.8$ m s⁻²，计算石头落到地面的时间。

1. 取向下为正方向，列出已知SUVAT量：$u = 0$，$s = 45$ m，$a = 9.8$ m s⁻²，$t = ?$
2. 选择只包含已知量和我们要求的未知量的公式：
3. $$s = ut + \frac{1}{2} a t^2$$
4. 代入数值，$ut$ 项因为 $u=0$ 抵消：
5. $$45 = 0 + \frac{1}{2}(9.8)t^2 \implies t^2 = \frac{90}{9.8} \approx 9.18$$
6. 取正根（时间不可能为负）：
7. $$t \approx 3.03 \text{ s}$$

> **考试提示:** 始终选择能直接解出未知量的公式，避免计算不必要的中间量，节省考试时间。

## 解读运动图像

运动可以用图像表示，无论加速度是否恒定，关键运动学量都可以通过斜率和图像下的面积得到：

- 位移-时间（$s$-$t$）图像的斜率 = 瞬时速度
- 速度-时间（$v$-$t$）图像的斜率 = 瞬时加速度
- 速度-时间（$v$-$t$）图像下的面积 = 总位移
- 加速度-时间（$a$-$t$）图像下的面积 = 速度的总变化量

**例题:** 一辆汽车的速度-时间图像是一条从$(t=0, v=0)$到$(t=10\text{ s}, v=20 \text{ m s}^{-1})$的直线。求10秒后汽车的总位移。

1. 总位移等于速度-时间图像下的面积。
2. 该图像是一个直角三角形，底为10 s，高为20 m s⁻¹：
3. $$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 = 100 \text{ m}$$
4. 总位移 = 100 m。

## 常见错误

- **错误做法:** 假设平均速率总是等于平均速度的大小
  - 原因: 平均速率是总路程除以时间，而平均速度是总位移除以时间。二者仅在物体运动方向不变时相等。
  - 正确做法: 当物体在运动过程中改变方向时，一定要区分这两个物理量。
- **错误做法:** 对非匀加速运动使用SUVAT公式
  - 原因: SUVAT公式是专门针对恒定加速度推导的，因此加速度变化时使用会得到错误结果。
  - 正确做法: 非匀加速问题使用运动图像的斜率和面积法求解。
- **错误做法:** 混淆位移-时间和速度-时间图像的斜率
  - 原因: 考试中学生经常混淆哪个斜率对应哪个运动学量。
  - 正确做法: 记住：$s$-$t$ 斜率 = $v$，$v$-$t$ 斜率 = $a$。
- **错误做法:** 方向的符号约定不一致
  - 原因: 例如，取向上为正方向却把重力加速度写成正值，导致结果符号错误。
  - 正确做法: 开始解任何运动学问题前，先写下你选择的正方向，并且全程遵守该约定。
- **错误做法:** 保留二次运动学方程的负时间解
  - 原因: 二次方程会给出两个解，但负时间对应运动开始前的时刻，没有物理意义。
  - 正确做法: 除非题目明确要求$t=0$之前的时间，否则总是舍弃负时间解。

## 速查表

| 物理量/关系 | 符号/规则 |
| --- | --- |
| 标量 | 只有大小，无方向 |
| 矢量 | 大小 + 方向 |
| 平均速度 | $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ |
| 平均加速度 | $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ |
| $v =$ | $u + at$ |
| $s =$ | $\frac{(u+v)t}{2}$ |
| $s =$ | $ut + \frac{1}{2} a t^2$ |
| $v^2 =$ | $u^2 + 2 a s$ |
| $s$-$t$ 图像斜率 | 速度 |
| $v$-$t$ 图像斜率 | 加速度 |
| $v$-$t$ 图像下面积 | 位移 |

## 下一步

A.1 运动学是IB物理HL所有力学的基础主题。后续所有运动主题都建立在本文介绍的位移、速度、加速度和SUVAT框架的核心概念之上。接下来，你会将这些概念推广到二维抛体运动，之后在牛顿运动定律中用运动学理解力如何产生加速度。掌握本小节对于后续主题，包括圆周运动、轨道力学和简谐运动都至关重要。

- [A.2 力与动量](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-2-forces-and-momentum/)
- [A.3 功、能量和功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-3-work-energy-and/)
- [A.4 转动力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-physics-hl-u1-a-4-rotational-mechanics/)

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